Найти функцию

[Руст]

Найти все функции $f:R_+\to R_+$, удовлетворяющие условиям.
1. $f(x+1)=\frac{f^2(x)-1}{x} \ \forall x>0,$
2. Функция $f(x)e^{-x^n}$ ограничена при некотором n.

[RIP]

Имеем

$$f(x)=\sqrt{1+xf(x+1)}=\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)f(x+2)}}=\ldots=$$

$$=\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+\ldots+(x+n)\sqrt{1+(x+n+1)f(x+n+2)}}}}>$$

$$>a_n(x)\overset{def}{=}\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+\ldots+(x+n)}}}.$$

Имеем:

$$a_n(x)<\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+\ldots+(x+n)(x+n+2)}}}=x+1.$$

Поэтому сущ-вует предел $\lim\limits_{n\to\infty}a_n(x)=a(x)\leqslant x+1$.
Во-первых,

$$a(x)\geqslant\sqrt{1+xa(x)},$$

откудова

$$a(x)>x+\varepsilon_0,\ \varepsilon_0=0.$$

Если

$$a(x)>x+\varepsilon_n,\ \varepsilon_n\in[0;1),$$

то

$$a(x)>\sqrt{1+x(x+1+\varepsilon_n)}>x+\varepsilon_{n+1}=x+\frac{1+\varepsilon_n}2.$$

$$\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=1\quad\Longrightarrow\quad a(x)=x+1(\text{что было очевидно с самого начала.})$$

Итак, $f(x)\geqslant x+1$. Запишем $f(x)=x+1+g(x)$, тогды

$$g(x+1)=2\frac{x+1}xg(x)+\frac{g(x)^2}x.$$

Допустим, что для некоторого $x_0\quad g(x_0)>0$.
Во-первых, $g(x+1)\geqslant2g(x)\quad\Longrightarrow\quad g(x+m)\geqslant2^mg(x)$. Поэтому найдется $m_0\in\mathbb{Z}_{\geqslant0}$, что $\sqrt{g(x_0+m)}>x_0+m$ при $m\geqslant m_0$. Можно считать $m_0=0$ и $g(x_0)>1$.
Но тогда $g(x_0+m)>g(x_0+m-1)^{1.5}>\ldots>g(x_0)^{1.5^m}$, что несовместимо с $f(x)=O(e^{x^n})$.
Значит, $f(x)=x+1$.