Шарик-2.

[dovlato]

Можно, например, заставить модель падать вниз с ускорением, большим $g$. Пузырёк перейдёт вниз. Потом начинается раскрутка.. Ну, тут можно придумывать много.

[anik]

Предлагаю следующую расчётную модель. См. рис.

Однородный тор с прорезью (воздушный промежуток) подвешен в двухстепенном кардановом подвесе на трех спицах. Массой спиц и рамки пренебречь. Вначале тор повёрнут прорезью вниз и зафиксирован от опрокидывания тормозной колодкой. В таком положении тор раскручивается вокруг вертикальной оси до некоторой угловой скорости $\omega$, затем тормозная колодка освобождает тор (кольцо с прорезью).
Как будет двигаться кольцо, если угловую скорость вращения медленно уменьшать? Как зависит поведение этой системы от значения начальной угловой скорости $\omega$?
Вы согласны с тем, что такая формулировка задачи эквивалентна приведённой вначале?

[dovlato]

Согласен. И сразу отпадают вопросы об осуществимости. А математическое описание не изменится, если считать трение "жидким", т.е. равным нулю в неподвижном состоянии.

[anik]

Теперь, такой вопрос: является ли вертикальная ось (и вся конструкция) идеально жёсткой?
Если да, то у меня создаётся такое представление, что критической скорости $\omega_0$ не будет. С какой бы угловой скоростью ни вращать вокруг вертикальной оси, сила, обусловленная небалансом, всегда будет иметь место и направлена она будет от оси вращения. Движение будет таковым, что ц.м. (и прорезь) будут колебаться относительно горизонтальной оси проходящей через центр.
С уменьшением угловой скорости частота этих колебаний будет уменьшаться.

[dovlato]

Если учесть поле центробежных сил (см. выше выражение для потенциальной ф-ции $U(\alpha)$), то начиная с $\omega_0$ и выше, минимум потенц. функции оказывается именно в исходном состоянии, как на рисунке. И, таким образом, оно становится устойчивым.
Тут нет противоречия с чисто интуитивными соображениями; при достаточно мощной раскрутке кольца массы, образующие это кольцо, стремятся разлететься от оси вращения. И, таким образом, разъём выдавливается к оси.

[anik]

Я думаю, что при малейшем отклонении от исходного положения кольца, появятся силы реакции опор вертикальной оси. Эти силы будут так же действовать на кольцо и их нужно как-то учесть. Вот если бы кольцо вращалось вокруг вертикальной оси свободно (в смысле, вертикальная ось не была бы жёстко закреплена в подшипниках), тогда да. Было бы два равновесных положения. Но это моё мнение...

[anik]

dovlato Вы меня простите, меня опять занесло. Здесь нет аналогии с "гибким валом", ведь кольцо может поворачиваться вокруг горизонтальной оси.
Хочу дальше преобразовать расчётную схему с кардановым подвесом.
В принципе, вместо кольца с прорезью можно представить себе его эллипсоид инерции, а карданов подвес, заменить мысленно неподвижной точкой в твёрдом теле (которое представлено эллипсоидом инерции). Неохота рисовать рисунки, но я думаю это можно себе представить.
Так вот, когда пузырёк воздуха очень мал, то эллипсоид инерции представляет собой зллипсоид вращения с осью минимум, расположенной вертикально, а неподвижная точка подвеса практически совпадает с ц.м. этого эллипсоида. Вращение такого эллипсоида вращения вокруг оси минимум конечно будет устойчивым. Это похоже на вращение монеты на ребре, но у монеты ц.м. вверху от неподвижной точки.
По мере увеличения воздушного промежутка, эллипсоид инерции становится сплюснутым (монета с обрезанными боками или в виде эллипса), а ц.м. его смещается вверх от точки подвеса. Начальная вертикальная ось вращения всё равно есть ось минимум. Вращение такого эллипсоида вокруг вертикальной оси (минимум) тоже будет устойчивым и напоминает китайский (перевёрнутый) волчок.
Математика движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки весьма сложна, мне её уже не осилить. А без этой математики описать поведение системы не получится.
Но окончательный вывод таков: положение пузырька внизу, всё-таки будет устойчивым.

[dovlato]

Боюсь, для меня такой взгляд - слишком абстрактный. К тому же я не имел дела с вращающимися дисками (кроме простых случаев). Так что затрудняюсь оценить Ваш подход.

[anik]

dovlato в сообщении #635034 писал(а):

Боюсь, для меня такой взгляд - слишком абстрактный.

Это я виноват, не смог толком объяснить. Можно не заменять кольцо его эллипсоидом инерции, а рассмотреть его непосредственно. См. рис.
В левой части сплошное кольцо подобно монете вращается на плоской поверхности. Здесь ещё нужно учесть, что точка касания кольца с поверхностью $o$ может перемещаться по кольцу при его наклонах (эффект "блуждающей плоскости"). Правда, про блуждающую плоскость принято говорить когда монета или кольцо движутся уже так, что точка касания обегает всю окружность (в самом конце движения). Если мы в нижней части сплошного кольца представим себе острие иголки, так чтобы точка касания $o$ не перемещалась ни по плоскости ни по кольцу, то мы получим обыкновенный волчок. Его движение будет таковым, что ось собственного вращения кольца будет описывать конус (прецессировать вокруг вертикальной оси.
Подвесить вращающееся сплошное кольцо в ц.м. $c$ без карданова подвеса нереально.
Но если кольцо с прорезью, то его можно подвесить примерно так, как показано в правой части рисунка. Здесь мы тоже будем иметь волчок у которого ц.м. $c$ выше точки подвеса $o$ (она в центре кольца). Он тоже будет прецессировать вокруг вертикальной оси.
Я думаю так...