$p$-подгруппа- подгруппа силовской $p$-подгруппы

[xmaister]

Утверждается, что всякая $p$-подгруппа группы $G$ содержится в некоторой силовской $p$-подгруппе. Доказательство приведено следующее:
Пусть $S$- множество всех силовских $p$- подгрупп. Подействуем на $S$ сопряжениями. Положим, что $P\in S$. Тогда очевидно, что $P\subset\mathrm{St}(P)$, значит $\sharp P|\sharp\mathrm{St}(P)$. Значит $\sharp\mathrm{Orb}(P)=\frac{\sharp G}{\sharp\mathrm{St}(P)}$, откуда следует, что порядок орбиты взаимно прост с $p$. Теперь рассматривается $p$- подгруппа $H$ группы $G$. Т.е. задано действие $H$ на $\mathrm{Orb}(P)$ и хотя бы одна из $H$ орбит содержит только один элемент $P'$, откуда следует, что $H$ содержится в нормализаторе $P'$, значит $P'$. Т.к. порядок $H\cap P'$ есть степень $p$, то в силу того, что $HP'/P'\cong H/(H\cap P')$ мы имеем, что порядок $HP'/P'$- степень $p$, откуда порядок $HP'$ тоже степень $p$, но тогда $HP'=P'$, значит $H\subset P'$.

Я понимаю, что это доказательство работает, но мне совершенно не понятно, как к этому прийти. Не ясна суть. Было сказано, что это доказательство- есть применение техники, связанной с формулой классов, но формулой классов тут и не пахнет.