Задача Кулона на 3-сфере

[Bulinator]

Здравствуйте. Не подскажите бедному постдоку как решают УШ задачи Кулона на 3-сфере? Гамильтониан в проективных координатах имеет следующий вид:

$$ \hat{H}=\frac{(1+q^2)^2\hat{p}^2}{8}-\frac{\gamma}{2}\frac{1-q^2}{q},\quad q=\sqrt{q_1^2+q_2^1+q_3^2} $$

Переходим в сферические координаты:

$$ q_1=r \sin{\theta}\sin{\varphi},\quad q_2=r \sin{\theta}\cos{\varphi},\quad q_3=r\cos{\theta} $$

Уравнение Шредингера принимает следующий вид(с точностью до каких-то несущественных коэффициентов):

$$ -(1+r^2)^2\partial^2_r\psi-2\frac{(1+r^2)}{r}\partial_r\psi-\frac{\Delta_{\theta\varphi}\psi}{r^2}-\left(\frac{\gamma}{2}\frac{1-r^2}{r}-E\right)\psi=0, $$

где $\Delta_{\theta\varphi}$- обычная сферическая часть опреатора Лапласа.

Далее, ищем $\psi$ в виде $\psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y_{lm}(\theta\varphi)$ ($Y_{lm}(\theta\varphi)$- сферические гармоники). Подставляем все это в ур-е и для $R(r)$ получаем:

$$ (1+r^2)^2R''-2\frac{(1+r^2)}{r}R'+\left(\frac{l(l+1)}{r^2}+\frac{\gamma}{2}\frac{1-r^2}{r}+E\right)R=0,\quad l\in \mathbb{N}_0 $$

Мои попытки:

Возникает желание обозвать $r=\tg{\xi}$. Тогда ур-е примет следующий вид:

$$ \frac{d^2R(\xi)}{d\xi^2}+4\ctg{2\xi}\frac{dR(\xi)}{d\xi}+\left(E+l(l+1)\ctg^2{\xi}+\gamma\ctg{2\xi}\right)R(\xi)=0 $$

Потом я пытался искать решение в виде $R=\sin^\alpha{\xi}\cos^\beta{\xi}F(\xi)$... Проблема в том, что я не знаю к какому уравнению стремиться. Поиск в интернете дал, что спектр должен выгдлядеть примерно так:

$$ E_n=\frac{\kappa}{n^2}+ \frac{n^2}{\beta},\quad n\in \mathbb{N} $$

[Bulinator]

ewert, Я надеялся на тебя, Саид, я думал, что вы сходу скажете.

Итак, решение простое- если обозвать $r=\tg{\chi/2}$(т.е. записать уравнение в сферических координатах объемлющего пространства), а потом еще раз $e^{\imath\chi}=\cos{\theta}$, то, после соответствующей подстановки, придем к задаче Пёшля-Теллера. Для справки, см. E.G.Kalnins, W.Miller, Jr., G.S.Pogosyan, "The Coulomb-Oscillator Relation on n-Dimensional Spheres and Hyperboloids"

[alcoholist]

(Оффтоп)

Bulinator
я рассчитывал на тебя, Саид