2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите решить задачу про сравнения
Сообщение09.10.2012, 11:12 


09/10/12
3
Доказать, что $\int_0^1f(x)g(x)dx\ge\int_0^1f(x)dx\cdot\int_0^1g(x)dx$, если известно что $f(x)$ и $g(x)$ непрерывные функции на $[0,1]$ и $f\prime(x)\cdot g\prime(x)>0$. Заранее спасибо за любые подсказки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу про сравнения
Сообщение09.10.2012, 12:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Сравнение -- это нечто иное.

В данном случае мы имеем дело с неравенством.

Намек. Условие на производные означает, что
$$
\Bigl(f(x)-f(y)\Bigr)\Bigl(g(x)-g(y)\Bigr)\ge 0
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу про сравнения
Сообщение10.10.2012, 10:12 


09/10/12
3
alcoholist в сообщении #628730 писал(а):
Сравнение -- это
В данном случае мы имеем дело с неравенством.

Спасибо за поправку :-).
Но намек не помог продвинутся вперед...
Плучим: $f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)\ge0$
$f(x)g(x)+f(y)g(y)\ge f(x)g(y)+f(y)g(x)$
$$\int_0^1f(x)g(x)dx+\int_0^1f(y)g(y)dx \ge \int_0^1f(x)g(y)dx+\int_0^1f(y)g(x)dx$$
$$\int_0^1f(x)g(x)dx \ge g(y)\int_0^1f(x)dx +f(y)\int_0^1g(x)dx - f(y)g(y)$$
Осталось доказать, что
$$g(y)\int_0^1f(x)dx +f(y)\int_0^1g(x)dx - f(y)g(y) \ge \int_0^1f(x)dx \cdot \int_0^1g(x)dx$$ :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу про сравнения
Сообщение10.10.2012, 10:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Doston в сообщении #629011 писал(а):
Осталось доказать, что
$$g(y)\int_0^1f(x)dx +f(y)\int_0^1g(x)dx - f(y)g(y) \ge \int_0^1f(x)dx \cdot \int_0^1g(x)dx$$
Не получится. И не нужно. На самом деле полдела Вы уже сделали — проинтегрировали по иксу. Осталось...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу про сравнения
Сообщение10.10.2012, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
$f\prime(x)\cdot g\prime(x)>0$
Если здесь поменять на нестрогое неравенство, останется утверждение верным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу про сравнения
Сообщение11.10.2012, 11:37 


09/10/12
3
Задача решена, всем спасибо! Здесь привожу решение (может кому интересно будет).
Известно, что если
$a_1<a_2<a_3<\cdots<a_n$ и $b_1<b_2<b_3<\cdots<b_n$
или
$a_1>a_2>a_3>\cdots>a_n$ и $b_1>b_2>b_3>\cdots>b_n$
$\forall n\in N$ и $n>1$, тогда
$$n(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)>(a_1+a_2+\cdots+a_n)(b_1+b_2+\cdots+b_n)$$
(последнее неравенство можно доказать с помощью математической индукции). Положим:
$$a_i=f\left(\frac{i}{n}\right) \text{и}\ b_i=g\left(\frac{i}{n}\right), i=\overline{1,n}$$
получим:
$$n\sum_{i=1}^na_ib_i > \sum_{i=1}^na_i \cdot \sum_{i=1}^nb_i$$
разделим обе части на $n^2$, получим:
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf\left(\frac{i}{n}\right)g\left(\frac{i}{n}\right)>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf\left(\frac{i}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^ng\left(\frac{i}{n}\right)$$
$$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^nf\left(\frac{i}{n}\right)g\left(\frac{i}{n}\right)\frac{1-0}{n} \ge \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf\left(\frac{i}{n}\right)\frac{1-0}{n} \cdot \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^ng\left(\frac{i}{n}\right)\frac{1-0}{n}$$
Это неравенство равносильно следующему:
$$\int_0^1f(x)g(x) \ge \int_0^1f(x)dx \cdot \int_0^1f(x)dx$$
что и требовалось доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу про сравнения
Сообщение11.10.2012, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Вам же предлагали два раза просуммировать (проинтегрировать):
$$\sum_i \sum_k (a_i - a_k)(b_i - b_k) \ge 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите решить задачу про сравнения
Сообщение12.10.2012, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
alcoholist в сообщении #628730 писал(а):
Условие на производные означает, что
$$ \Bigl(f(x)-f(y)\Bigr)\Bigl(g(x)-g(y)\Bigr)\ge 0 $$

RIP в сообщении #629016 писал(а):
проинтегрировали по иксу. Осталось...


$$ 0\le\int_0^1\int_0^1\Bigl(f(x)-f(y)\Bigr)\Bigl(g(x)-g(y)\Bigr)dxdy=2\Bigl(\int_0^1f(x)g(x)dx-\int_0^1f(x)dx\int_0^1g(x)dx\Bigr) $$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group