Момент инерции относительно полюса

[Limit79]

Вычислить момент инерции плоской фигуры, ограниченной кардиоидой $r=4\cdot (1+cos(\varphi))$ относительно полюса. Плотность равна 1.

Я так понимаю, что искомый момент находится по формуле: $I_{0}=\iint_{D}^{ } (x^2+y^2)dydx$

Если в полярных координатах, то подстановкой $x=r\cdot cos(\varphi)$ и $y=r\cdot sin(\varphi)$ получим: $ I_{0}=\iint_{D}^{ } (r^3)drd\varphi$

Ну а дальше расставляем пределы интегрирования по нашей области, и находим искомый момент.

Опровергните меня, пожалуйста, особенно касательно формулы для вычисления момента инерции относительно полюса в полярных координатах.

-- 06.10.2012, 21:58 --

Письменный, Фихтенгольц, Лунгу - не нашел такой формулы или аналогичного примера.

-- 06.10.2012, 22:23 --

Хм, а формула вроде верная, но интеграл $ I_{0}=\iint_{D}^{ } (r^3)drd\varphi = \int_{0}^{2\pi } d\varphi \int_{0}^{4\cdot (1+cos(\varphi)) } r^3 dr = ... = 560\pi$ , что смущает.

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #627710 писал(а):

Опровергните меня, пожалуйста, особенно касательно формулы для вычисления момента инерции относительно полюса в полярных координатах.
Письменный, Фихтенгольц, Лунгу - не нашел такой формулы или аналогичного примера.

Опровергать не будем. А только подтвердим Ваши выкладки. Посмотрите ещё книгу Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление" том 2. Там есть.

-- Сб окт 06, 2012 23:15:55 --

Limit79 в сообщении #627710 писал(а):

$.. = 560\pi$

Вроде правильно.

[Limit79]

Shtorm
Я там нашел только первую формулу, вот эту: $I_{0}=\iint_{D}^{ } (x^2+y^2)dydx$

В ней я уверен, меня больше интересует справедливость перехода в этой формуле к полярным координатам подстановкой синуса и косинуса.

-- 07.10.2012, 00:23 --

Shtorm
Интеграл-то 100% правильно посчитан (если пределы я правильно расставил), просто смущает настолько большое число.

[Shtorm]

Limit79, так вот дальше в Пискунове идёт пример с нахождением инерции площади круга, где как раз демонстрируется преход к полярным координатам.

[Limit79]

Shtorm
На самом деле, что-то я проглядел сначала. Значит я прав.

Спасибо большое за помощь!