Диффуры

[integral2009]

Подскажите, пожалуйста, замену или способ решения.

1) $(xy'+y)^2=x^2y'$

Заметил, что $xy'+y=(xy)'$, потому хотел сделать замену $z=xy$, но ничего хорошего не вышло

2) $x+yy'=y^2(1+y'^2)$

Единственное, что заметил, что $(yy')'=yy'^2+y'^2$

[Mitrius_Math]

1) Разрешите как квадратное уравнение относительно производной.

-- Сб окт 06, 2012 21:09:08 --

Или положите $y'=p \ \to \ dy=pdx$ и продифференцируйте обе части уравнения.

[integral2009]

Спасибо.

$p^2x^2+2pxy+y^2=x^2p$

$p^2x^2+(2xy-x^2)p+y^2=0$

$p_{1,2}=\dfrac{x^2-2xy\pm\sqrt{(2xy-x^2)^2-4x^2y^2}}{x^2}=\dfrac{x^2-2xy\pm\sqrt{x^4-4x^3y}}{x^2}=\dfrac{dy}{dx}$

А как дальше? Ведь разделить переменные не удается...

А как со вторым?

[Mitrius_Math]

Наверное, лучше использовать второй способ - введение параметра.

P.S. Есть хорошая книжка Краснова, Киселёва и Макаренко "Обыкновенные дифференциальные уравнения", где эти способы подробно разобраны.

[integral2009]

Mitrius_Math в сообщении #627791 писал(а):

Наверное, лучше использовать второй способ - введение параметра.

P.S. Есть хорошая книжка Краснова, Киселёва и Макаренко "Обыкновенные дифференциальные уравнения", где эти способы подробно разобраны.

Я ее читал, Филлипова -- тоже, но конкретно на эти задачи не получается решить

[Someone]

Это однородные уравнения.

[integral2009]

Someone в сообщении #627807 писал(а):

Это однородные уравнения.

Кстати, точно) Первое уравнение - однородное второй степени.

А второе -- разве однородное?

[Someone]

integral2009 в сообщении #627812 писал(а):

А второе -- разве однородное?

Нет. Извините, невнимательно посмотрел.

integral2009 в сообщении #627666 писал(а):

заметил, что $(yy')'=yy'^2+y'^2$

Нет, это неправильно: $(yy')'=yy''+y'^2$.

Во втором уравнении можно заметить, что $yy'=\left(\frac{y^2}2\right)'$. Поэтому сделайте подстановку $\frac{y^2}2=z+\alpha x+\beta$, причём, $\alpha$ подберите так, чтобы в уравнении исчез $x$, а $\beta$ потом можно подобрать так, чтобы в дискриминанте исчез постоянный член (это не обязательно, можете просто взять $\beta=0$).

[integral2009]

1)

$(xy'+y)^2=x^2y'$

$y=tx$

$(x(t'x+t)+tx)^2=x^2(t'x+t)$

$(t'x^2+2tx)^2=x^2(t'x+t)$

$x^2(t'x+2t)^2=x^2(t'x+t)$ |:$x^2\;\;\;\;x=0,y=0$ - решение

$(t'x+2t)^2=t'x+t$

$(t'x+2t)^2=t'x+t$

$t'^2x^2+4txt'+4t^2=t'x+t$

$x^2t'^2+(4tx-x)t'+4t^2-t=0$

$x^2t'^2+x(4t-1)t'+t(4t-1)=0$

$t'_{1,2}=\dfrac{x(1-4t)\pm\sqrt{x^2(4t-1)^2-4tx^2(4t-1)}}{x^2}$

$t'_{1,2}=\dfrac{x(1-4t)\pm|x|\sqrt{(4t-1)^2-4t(4t-1)}}{x^2}$

$t'_{1,2}=\dfrac{x(1-4t)\pm|x|\sqrt{(4t-1)(4t-1-4t)}}{x^2}$

$t'_{1,2}=\dfrac{x(1-4t)\pm|x|\sqrt{1-4t}}{x^2}=\dfrac{dt}{dx}$

А что потом? Можно, конечно немного упростить, сделав замену $z=1-4t$, но дальше не вижу

[Someone]

integral2009 в сообщении #627819 писал(а):

А второе уравнение - однородное какой степени?

Второе уравнение - не однородное.

integral2009 в сообщении #627819 писал(а):

$t'_{1,2}=\dfrac{x(1-4t)\pm|x|\sqrt{(4t-1)^2-4t(4t-1)}}{x^2}$

Здесь вместо $\lvert x\rvert$ должен быть просто $x$. Как математик, я, конечно, приветствую Вашу педантичность, но здесь стоит "$\pm$", и писать $\lvert\ldots\rvert$ нет смысла.

integral2009 в сообщении #627819 писал(а):

А что потом?

Использованная Вами подстановка всегда превращает однородное уравнение в ... Какое?

[integral2009]

Someone в сообщении #627817 писал(а):

Во втором уравнении можно заметить, что $yy'=\left(\frac{y^2}2\right)'$. Поэтому сделайте подстановку $\frac{y^2}2=z+\alpha x+\beta$, причём, $\alpha$ подберите так, чтобы в уравнении исчез $x$, а $\beta$ потом можно подобрать так, чтобы в дискриминанте исчез постоянный член (это не обязательно, можете просто взять $\beta=0$).

Спасибо

$x+yy'=y^2(1+y'^2)$

$x+\left(\frac{y^2}2\right)'=y^2+(yy')^2$

$x+\left(\frac{y^2}2\right)'=y^2+\left(\frac{y^2}2\right)'^2$

$x+(z+\alpha x+\beta)'=2z+2\alpha x+2\beta+(z+\alpha x+\beta)'^2$

$x+z'+\alpha =2z+2\alpha x+2\beta+(z'+\alpha )^2$

$x+z'+\alpha =2z+2\alpha x+2\beta+z'^2+2z\alpha+\alpha^2$

$\alpha=0,5$

$\beta=0$

$z'+0,5 =2z+z'^2+z+0,25$

$ z'^2-z'+3z-0,25=0$

Теперь решать как квадратное, относительно $z'$? А как вы угадали такую замену хитрую?

[Someone]

По аналогии с уравнением $y'=f(ax+by+c)$. В нём при $a\neq 0$, $b\neq 0$ рекомендуется подстановка $z=ax+by+c$. Причём, $c$, конечно, можно и не прибавлять.

[Полосин]

1) Обозначьте $z=xy$ и продифференцируйте.
2) Обозначьте $z=yy'$ и продифференцируйте.

[integral2009]

Someone в сообщении #627821 писал(а):

Использованная Вами подстановка всегда превращает однородное уравнение в ... Какое?

В уравнение с разделяющимися переменными)

$$t'_{1,2}=\dfrac{x(1-4t)\pm x\sqrt{(4t-1)^2-4t(4t-1)}}{x^2}=\dfrac{1-4t \pm \sqrt{(4t-1)^2-4t(4t-1)}}{x}=\dfrac{1-4t\pm\sqrt{1-4t}}{x}=\dfrac{dt}{dx}$$

Переменные, конечно, разделяются, но нам брать плюс или минус?

-- Вс окт 07, 2012 02:03:17 --

Полосин в сообщении #627826 писал(а):

1) Обозначьте $z=xy$ и продифференцируйте.
2) Обозначьте $z=yy'$ и продифференцируйте.

Я как раз в старт-посте написал, что пробовал такую замену в первом уравнении, но что-то не вышло(

[Полосин]

Вы сделали замену? Продифференцировали? Что получилось? Что не вышло?