2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Условия Коши-Римана в показательной форме
Сообщение06.10.2012, 12:27 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Если комплексная функция задана в показательной форме, то какой вид имеют условия Коши-Римана в полярных координатах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия Коши-Римана в показательной форме
Сообщение06.10.2012, 16:04 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
$\dfrac{\partial f}{\partial r} + \dfrac{i}{r}\dfrac{\partial f}{\partial \varphi} = 0$,

т.е. если $f(z)=R(x,y)e^{i\Phi(x,y)}$, то

$\dfrac{\partial R}{\partial x} = R \dfrac{\partial \Phi}{\partial y};\quad\dfrac{\partial R}{\partial y} = - R \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия Коши-Римана в показательной форме
Сообщение06.10.2012, 18:03 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
chessar
Но ведь это в декартовых координатах. В полярных координатах у меня получилось громоздкое выражение, а хотелось бы увидеть что-то попроще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия Коши-Римана в показательной форме
Сообщение06.10.2012, 22:46 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
bayak в сообщении #627616 писал(а):
Но ведь это в декартовых координатах. В полярных координатах у меня получилось громоздкое выражение, а хотелось бы увидеть что-то попроще.
$\dfrac{\partial u}{\partial r} = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \dfrac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \dfrac{\partial v}{\partial r}$. Так устроит? Как Вы записываете $f(z)$ в полярных координатах? Приведите Ваши выкладки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия Коши-Римана в показательной форме
Сообщение09.10.2012, 19:20 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
chessar в сообщении #627767 писал(а):
bayak в сообщении #627616 писал(а):
Но ведь это в декартовых координатах. В полярных координатах у меня получилось громоздкое выражение, а хотелось бы увидеть что-то попроще.
$\dfrac{\partial u}{\partial r} = \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial v}{\partial \varphi};\quad \dfrac{\partial u}{\partial \varphi} = -r \dfrac{\partial v}{\partial r}$. Так устроит? Как Вы записываете $f(z)$ в полярных координатах? Приведите Ваши выкладки.

В этих уравнениях я сделал замену $u=R\cos\Phi$, $v=R\sin\Phi$ и в итоге получил громоздкую систему уравнений в показательно-полярных координатах. Но оказывается, что если бы я применил такую систему координат, в которой градиенты были бы ортонормальны, то система уравнений Коши-Римана не изменилась бы. Полярные координаты ортогональны, но не ортонормальны, поэтому хотелось бы нормализовать их. Есть у Вас готовое решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия Коши-Римана в показательной форме
Сообщение10.10.2012, 19:04 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Ну раз нет готового решения, то предложу следующее.
Пусть $$\begin{cases}\nabla r = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(x\partial x + y\partial y)\\ \nabla \vartheta = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(-y\partial x + x\partial y) \end{cases}. $$ Тогда координаты $(r,\vartheta)$ можно считать нормализованными полярными координатами, но их геометрический смысл будет иным. Координата $r$ задаёт длину на образующей цилндра $\mathbb{R}^{+}\times S^1$, а координата $\vartheta$ - угол на задающей окружности цилиндра. Кстати, отсюда получается неплохая геометрическая интерпретация комплексных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия Коши-Римана в показательной форме
Сообщение10.10.2012, 22:14 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
bayak в сообщении #629179 писал(а):
Кстати, отсюда получается неплохая геометрическая интерпретация комплексных чисел.

В этой связи возникает вопрос о новом представлении комплексно-аналитических функций, т.е. интересно было бы знать какими симметриями на цилиндре обладают конформные отображения плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия Коши-Римана в показательной форме
Сообщение11.10.2012, 22:49 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Замечательно также то, что спиралевидное векторное поле декартовой плоскости $(x,y)$:
$$\rho e^{i\varphi}\equiv \rho(x\partial'_{x}+y\partial'_{y}),$$ где $$\begin{cases}\partial'_{x}=\cos\varphi\partial_x-\sin\varphi\partial_y\\ \partial'_{y}=\sin\varphi\partial_x+\cos\varphi\partial_y,\end{cases}$$ которое служит векторно-полевым представлением комплексных чисел, на поверхности цилиндра $(r,\vartheta)$ приобретает следующий винтообразный вид:

$$(\rho\cos\varphi) r\partial r +(\rho\sin\varphi) r \partial\vartheta.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group