Существование мо/дисперсии

[stat]

Подскажите как можно по ограниченной выборке данных определить существует или не существует мо/дисперсия ?
Численно я определяю это так. Строю кумулятивною кривую мо/дисперсии и смотрю стабилизируется ли эта кривая с увеличением данных или нет. То есть уменьшается ли дисперсия мо/дисперсии при увеличении данных или нет. Но вот терзают сомнения может чего не правильно делаю.

[Евгений Машеров]

Вообще говоря, никак. Легко построить пример распределения, в котором матожидания нет, а вероятность это заметить стремится к нулю. Надо рассматривать какой-то набор возможных распределений, из которых у одних есть матожидание и дисперсия, у других нет, и проверять гипотезы о принадлежности данных к этим распределениям.

[stat]

Ну из непрерывных я знаю только одно распределение у которого нет мо/дисп это Коши.

А вот графический метод как я описал он ни о чем не говорит получается ? Просто для Коши он четко показывает, что никакой сходимости к константам мо/дисп там нет.

[Евгений Машеров]

Стьюдента при двух степенях свободы имеет МО, но не дисперсию. Распределения Парето не имеют дисперсии при $k\leq 2$.
Ну и смеси распределений. Скажем, подмешав к любому распределению Коши, можно получить распределение без МО, даже если доля Коши в смеси будет сколь угодно мала...

-- 05 окт 2012, 15:25 --

Да, и устойчивые распределения - при $\alpha \leq 1$ МО не существует.

[stat]

Да. Как я мог забыть про устойчивые распределения c $\alpha <2.$

Как думаете, если распределение приращений цен не имеет дисперсии то VaR, который в банках считают, это же филькина грамота получается ?

[Евгений Машеров]

Как человек, который уже не считает - соглашусь;)
А по сути вопроса - величина, принимающая лишь конечные значения, матожидание и дисперсию имеет всегда. То есть у цен они есть, по физическим причинам. Не иметь моментов могут доходности (причём логарифмические, а не относительные), когда цена актива обращается в ноль. Причём событие "обращение в ноль цен всех активов в портфеле" не то, что невозможно в принципе. Просто оно, скорее всего, будет связано с чем-то грандиозным и заставящим забыть о портфеле инвестиций, будь то ядерная война, вторжение инопланетян или победа на выборах даже не компартии США, а каких-нибудь полпотовцев, отменяющих деньги. Так что в принципе можно считать VaR, моделируя цены. Хотя бы Монте-Карло. А методы, использующие первые два момента - работать не будут. Впрочем, они и там, где формально допустимы - скорее для создания тёплого чувства "всё под контролем", чем для реальной защиты.

[stat]

Интересно. Просто меня сбило с толку что такие математики как Петерс и Мандельброт предполагали бесконечную дисперсию приращения логарифмов цен. Я у Петерса в книга "Фрактальный анализ финансовых рынков" как раз и увидел этот пример про расчет кумулятивной дисперсии и сравнение ее с кумулятивной кривой дисперсии Коши. И там он вывод как раз делает, что очень велико сходство следовательно у цен скорее дисперсия отсутствует. И у Ширяева в его монографии тоже обсуждаются альфа-устойчивые распределения с А<2 как альтернатива нормальному распределению. Но как же они тогда могут быть альтернативой, если приращения цен не обладают бесконечной дисперсией ?

[Евгений Машеров]

Ну, вероятно, предлагается не верить в то, что данное распределение является точным для доходностей, а лишь тому, что оно лучше аппроксимирует в области реально встречающихся значений (а поведением "на бесконечности", крайне маловероятными свербольшими выбросами, пренебрегаем)

[stat]

Спасибо за пояснения