Уравнение

[Trius]

Найти минимальное $q\in N$,для которого существует такое $\pi\in Z$,что 4 корня уравнения $x^4+\pi x^2+q=0$ образуют арифметическую прогресию.

[maxal]

Тривиально - нужно взять 4 члена ариф. прогрессии, составить уравнение (относительно $x$), корнями которого они являются и приравнять коэффициент при $x^3$ нулю.
Сразу станет понятно, что $q=9$ - является минимальным, а искомое уравнение $x^4 - 10 x^2 + 9 = 0,$ и его корнями являются $-3, -1, 1, 3.$

[Trius]

какое уравнение?

[Gordmit]

Если необходимо составить уравнение относительно $x$, корнями которого являются числа $a_0,a_1,a_2,a_3$, то обычно пишут такое уравнение:

$$(x-a_0)(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=0$$

.

[Trius]

это я знаю, оно ничего не дает

[maxal]

Все оно дает, если положить $a_i = b + i\cdot d$ (то есть сделать их членами ариф. прогрессии).

[ИСН]

Так много скобочек раскрывать. Можно проще: многочлен чётный, значит, корни симметричные слева и справа от нуля, а если они ещё и арифм. прогрессия, то только такая: -3a, -a, a, 3a, а значит...

[Trius]

можно сразу записать: $2a+3d=0$, подставить а и d.После преобразований получим $3|\pi|=10\sqrt{q}$, дальше нефиг делать

Добавлено спустя 1 час 56 минут 27 секунд:

ИСН
как Вы получили что корни отличаются в три раза?

[RIP]

Trius писал(а):

ИСН
как Вы получили что корни отличаются в три раза?

Они должны образовывать арифметическую прогрессию

[Trius]

да, точно, я просто неправильно написал порядок членов арифметической прогресии

[[ws]woland]

trius, что ты подставляешь вместо а и d ? или ктото другой?

[Trius]

$a=\sqrt{\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}}$
$d=\sqrt{\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}}-\sqrt{\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}}$