Задача Дионы

[Archij]

Здравствуйте! Помогите решить задачу Дионы (изопериметрическая задача) путем численного интегрирования. Допустим границы - это от 0 до 10, и y(0) = 0, y(10) = 0. По середине разные y(x), их можно менять.

И по 2 формулам
и

путем численного интегрирования нахожу площадь S и длину линии l.

Переменные y(x) подаю в интеграл S, а дифференциалы y'(x) подаю в интеграл l. И рисую график: на оси y поставлены графики S и l. Но в моей модели нет главного условия: длина линии l должна быть константой, пока значения S доходят до максимума. Значит, правильно меняя y(x) , S график идет в верх, а l график по горизонтали не меняется. Как это можно сделать? Как связать S и l интегралы?

Спасибо!

[Cash]

(И все таки Дидона)

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%BD%D0%B0

[statistonline]

$\int_{a}^{b}\sqrt{1+y'^2}dx=l$ Ваша l - это константа. Кроме того, вам надо, чтобы площадь была максимальна, т.е,
$\int_{a}^{b}ydx \rightarrow \max$
Ваши дальнейшие действия, как обычно в вариационном исчислении, - составить соответствующую функцию и решить для нее уравнение Эйлера

[Archij]

Да, но как правильно составить эту функцию? Везде где я читал, там показано как аналитически решать. Тоесть, уравнение Эйлера:



В нем есть переменная landa - но это при символичным интеграле. А мне нужно численное решение. В численном решении в landa должно вставлятся какая небудь цифра. Где взять эту landa? И про l - если решать интеграл линии, то там же поставляется y', а y' на каждом x меняется, и значит значения интеграла меняются.

[statistonline]

Landa - это, как я понимаю, $\lambda$? Это множитель Лагранжа, заранее он неизвестен, но по смыслу это модуль радиуса той самой полуокружности. Ну положите его в расчетах равным $\frac{l}{\pi}$

[Archij]

Все-таки не все понимаю. Если численно решать уравнение Ейлера, то всегда выходит одно и то же самое значение - k? Если здесь смотреть: http://books.google.lv/books?id=qfA20mG ... ve&f=false

И этот к - график всех y(x)? И как из уравнения Ейлера можно достать площадь и длину линии? Потому что у меня выходит что паралельно считаются интеграл площади, интеграл линии и уравнение Ейлера.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам: использование картинок в качестве замены текста и формул (за исключением геометрических чертежей, сложных диаграмм и таблиц) на форуме не допускается (пункт I.1-м Правил).


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.