Исследование функции

vanja · 02.10.2012, 21:27

Исследуем функцию $y=\frac{x^3}{x^2+1}$
Говоря, об области определения, я так понимаю, надо сказать, что ею является вся числовая ось $x \in R$ , также график пересекает ось $Oy$ в точке $O(0;0)$ и в той же точке пересекает ось $Ox$ , функция является нечетной, т.е. график ее симметричен отн-но начала координат, и вот возникает вопрос с асимптотами: у меня получается, что вертикальных, горизонтальных асимптот нет, а прямая $y=x$ явл-ся наклонной асимптотой, также у меня не получается найти интервалы возрастания и убывания функции, экстремумов функция вроде не имеет. Вообщем прошу помощи в проверке найденного и подсказок в не найденном)

_Ivana · 02.10.2012, 21:34

vanja в сообщении #626215 писал(а):

прошу помощи в проверке найденного

Код:

x = -4:0.05:4;
y = (x.^3)./(x.^2 + 1);
plot(x, y)

Shtorm · 02.10.2012, 21:42

vanja, всё что Вы сами смогли определить - всё верно. Экстремумов действительно нет. Поэтому подставляйте любое значение х в производную и определяйте знак производной. Таким образом увидите, что происходит с функцией на всей её области определения. Ещё остаются за Вами точки перегиба и выпуклость, вогнутость.

vanja · 05.10.2012, 19:05

у меня получается, что функция явл-ся возрастающей на всей области определения, так ли? производная $\frac{x^4+3\cdot x^2}{(x^2+1)^2}$

Shtorm · 05.10.2012, 20:26

vanja, всё правильно! Давайте теперь вторую производную!

vanja · 05.10.2012, 21:50

вторая производная $y''=\frac{-2\cdot x(x^2-3)}{(x^2+1)3}$ и у меня почему-то получается, что на промежутке $(-\infty;-\sqrt{3})\cup (0;\sqrt{3})$ функция выпуклая вниз, а на промежутке $(-\sqrt{3};0)\cup (\sqrt{3};+\infty)$ выпуклая вверх