Метод Фурье(разделение переменных).

[Firth]

Здравствуйте.
Решая методом Фурье мы представляем искомую функцию в виде:
$U(t,x)=X(x) \cdot T(t)$
Есть ли физический смысл этого этапа?
Какую можно почитать литературу в честь этого события?

[мат-ламер]

Firth в сообщении #626074 писал(а):

Есть ли физический смысл этого этапа?

Не знаю как насчёт этапа, но физический смысл решения - стоячие волны.

Firth в сообщении #626074 писал(а):

Какую можно почитать литературу в честь этого события?

Можно почитать учебник Арамановича-Левина. Вот прямо сейчас вспомнил про Арнольда. Посмотрю его. Если не знаете про стоячие волны, можно попробовать поискать видео на эту тему на ютубе.

-- Вт окт 02, 2012 20:22:45 --

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%8F%D1%87%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%B0

-- Вт окт 02, 2012 20:49:30 --

Но это для гиперболических уравнений. Для параболических физический смысл это остывание. Можно считать что одна стоячая волна потихоньку затухает.

[ewert]

Да нет там никакого физического смысла. Даже и математического нет. Математический трюк там состоит в разложении по собственным функциям, и это действительно сознательно; так называемое же "разделение переменных" -- не более чем стрельба наугад. Это хорошо лишь для ощупывания партнёров, притом в темноте.

[Munin]

ewert в сообщении #626165 писал(а):

Да нет там никакого физического смысла. Даже и математического нет.

Напротив. Все три основных подхода к решению ДУЧП (Фурье, Риман, Грин) имеют ясный физический смысл (стоячие волны, бегущие волны, отклик на точечное возбуждение).

Переменные разделяются, когда в уравнении есть какие-то симметрии, которые можно эксплуатировать, разыскивая стационарные решения или собственные колебания. Иногда "наугад", иногда более осмысленно, например, заранее зная симметрию задачи. Наверное, их можно искать даже численно.

[ewert]

Munin в сообщении #626203 писал(а):

имеют ясный физический смысл

В теплопроводности никаких физических волн нет и быть не может. А что есть -- лишь математический трюк.

[kylla]

Про физический смысл я бы тоже хотел почитать.
А переменные можно разделить в силу теоремы Стеклова.

[Munin]

ewert в сообщении #626217 писал(а):

В теплопроводности никаких физических волн нет и быть не может.

Да ну? А по-моему, есть. Ровно те, которые Фурье и указывает - с мнимой частотой.

[g______d]

Математический смысл есть: если дифференциальный оператор, область и краевые условия обладают определенной симметрией (например, область является прямым произведением), то в некотором смысле собственные функции обладают той же симметрией.

Про это есть, например, книжка Миллера "Симметрия и разделение переменных".