полунормы в D(R)

[Oleg Zubelevich]

Выписать явно систему полунорм, которая задает топологию индуктивного предела в $\mathcal{D}(\mathbb{R})$

[Sinus]

Будет ли честно воспользоваться учебником, в котором, судя по вашему посту в соседней теме, выписан базис окрестностей нуля в $\mathcal{D}(\mathbb{R})$?

[Oleg Zubelevich]

Да, это про то, что цитировал учебник, я как-то забыл, но тем не менее это всеравно некоторое урпажнение, функционалы Минковского можно еще несколько преобразовать

[Sinus]

Пусть $K_n:=[-n;n], n \in \mathbb{N} $, и пусть $p_{i,m}=\sup \limits_{\alpha \le m;s \in {K_j}} | D^\alpha f(s) |$. Положим
$U_i(m_i,q_i)=\{f \in \mathcal{D(R)} | p_{i, m_i}(f)<q_i \}$.

Теперь рассмотрим совокупность $\Xi $ множеств вида

$V= \bigcup \limits_{m_1 \le m_2 \le m_3 \le... ; q_1 \ge q_2 \ge q_3... >0 \atop m_i \in \mathbb{N}, q_i \in \mathbb{Q}} U_i(m_i,q_i)$.

Несмотря на то, что объединение берется не по всевозможным последовательностям множеств $U_i(m_i,q_i)$, $\Xi $ (кажется) являет собой фундаментальную систему окрестностей нуля.

Посчитаем функционал Минковского $\rho_V(f)$ для множества $V$. Зафиксируем функцию $f$ и пусть $j(f)= \min\{i: supp(f) \subset K_i\}$. Тогда

$\rho_V(f)=p_{m_{j(f)},q_{j(f)}}(f)$.

Множество функционалов $\{p_{m_{j(f)},q_{j(f)}}(f)| m_1 \le m_2 \le m_3..., m_i \in \mathbb{N}, q_1 \ge q_2 \ge q_3... >0, q_i \in \mathbb{Q} \}$ и будет указанной системой полунорм.