Школьная алгебра (система уравнений)

[Sab]

Вот такая система:
$x y - 6 =\frac {y^3} x$

$x y + 24 =\frac {x^3} y$

попытался выразить $x$ из первого:
$y x^2 - 6x - y^3 = 0$

$x_{1,2} = \frac{ 3 \pm \sqrt{9 + y^4 }}{ y }}$

далее подставил $x_{1}$ во второе уравнение, получил:
$18 y^4 - 36 \sqrt{9 + y^4 } - 108 = 0$
решив уравнение можно найти нужные корени $y = 2$ $y = -2$

можно решать таким способом эту систему, или существует более рациональный способ решения?

[_Ivana]

Убеждаетесь что нули обоих аргументов не являются корнями, делите оба уравнения на игрек в квадрате, делаете замены переменных, исключаете одну переменную, по оставшейся решаете биквадратное уравнение и т.д.

[Cute]

Из условия следует, что x \ne 0,\,\,y \ne 0.
Попробуйте почленно перемножить данные уравнения.

[Keter]

_Ivana, всё еще проще. Можно без квадратных уравнений обойтись.

$$\begin{cases} xy-6=\dfrac{y^3}{x}, \\ xy+24=\dfrac{x^3}{y}. \end{cases}$$

Первое уравнение разделим на $x^2$, а второе соответственно на $y^2$:

$$\begin{cases} \dfrac{y}{x}-\dfrac{6}{x^2}=\dfrac{y^3}{x^3}, \\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{24}{y^2}=\dfrac{x^3}{y^3}. \end{cases}$$

$x, y \ne 0$, тогда заменим $\dfrac{x}{y}=t$ и $\dfrac{6}{x^2}=u$, причем $u, t \ne 0$ и $u>0$.

$$\begin{cases} \dfrac{1}{t}-6=\dfrac{1}{t^3}, \\ t+4ut^2=t^3; \end{cases} \quad \begin{cases} t^2-ut^3=1, \\ t^2-4ut=1; \end{cases} \quad \begin{cases} u=\dfrac{t^2-1}{t^3}, \\ u=\dfrac{t^2-1}{4t}. \end{cases}$$

$$\dfrac{t^2-1}{t^3}=\dfrac{t^2-1}{4t}$$

При $t^2=1$ имеем $u=0$, что не удовлетворяет условию $u \ne 0$. Тогда получим уравнение:

$$\dfrac{1}{t^3}=\dfrac{1}{4t}; \quad t^2=4; \quad t=\pm 2.$$

Получаем, что $t=\pm 2; \quad u=\pm \dfrac{3}{8}$. Так как $u>0$ единственное решение положительно, при обратной замене равносильно системе:

$$\begin{cases} \dfrac{x}{y}=2, \\ \dfrac{6}{x^2}=\dfrac{3}{8}; \end{cases} \Rightarrow x=\pm 4; y= \pm 2.$$

Решением будут две пары чисел $(4; 2)$ и $(-4; -2)$.

[AKM]

Keter,

это уже рецидив, о чём Вас предупреждаю.

[AKM]

Ранее объявленное предупреждение снимаю: моя невнимательность.

Соответственно, приношу свои извинения.

[Sab]

решил ещё проще:

$\begin{cases} \dfrac{x^2y}{x} - \dfrac{y^3}{x}=6, \\ \dfrac{xy^2}{y} - \dfrac{x^3}{y}= -24. \end{cases}$

$\begin{cases} \dfrac{ {y} {(x^2 - y^2)} }{x} - =6, \\ \dfrac{{x}({y^2-x^2})}{y} = -24. \end{cases}$

$\begin{cases} \dfrac{ {y} {(x - y)}{(x+y)} }{x} - =6, \\ \dfrac{{x}({y-x}){(y+x)}}{y} = -24. \end{cases}$

$ {-4}\dfrac{ {y} {(x - y)}{(x+y)} }{x}= \dfrac{{x}({y-x}){(y+x)}}{y} $

$4y^2=x^2$
$x=2y$ $x=-2y$

[ewert]

На самом деле надо было следовать

Cute в сообщении #625425 писал(а):

Попробуйте почленно перемножить данные уравнения.

Квадраты там сокращаются, после чего мгновенно $xy=8$, дальше тривиально.

[Keter]

Предлагаю для тренировки решить такую систему:

$$\begin{cases} x^2-3xy+y^2=-1, \\ 2x^2+5xy-y^2=17. \end{cases}$$

[Mitrius_Math]

Умножаем первое на 17, складываем со вторым, а дальше замена...

[Keter]

Mitrius_Math, уверены, что замена?

[Mitrius_Math]

Keter в сообщении #626093 писал(а):

Mitrius_Math, уверены, что замена?

Да, после деления обеих частей на $y^2$.

[Keter]

Mitrius_Math, ну а можно без замены сразу решать как квадратное относительно $x$, получим $D=900 y^2$ и иксы выраженные через $y.$

[ewert]

Keter в сообщении #626135 писал(а):

ну а можно без замены сразу решать как квадратное

Можно, но логически невыгодно. С делением же -- воистину по-школьному и воистину стандартно.

[Mitrius_Math]

Keter, конечно же, можно, но я не надеялся на хороший дискриминант.

ewert в сообщении #626162 писал(а):

С делением же -- воистину по-школьному и воистину стандартно.

У нас в школе и близко такого не было.