Заполнение конуса водой, проверьте пожалуйста решение.

[uia]

Провертье пожалуйста решение.
Бокал в форме конуса, угол при вершине которого равен $\beta$ заполняют с одинаковой объёмной скоростью ($u=V/t$). найдите зависимость скорости увеличения уровня воды от времени. Приношу извинения за корявую формулировку, это дословный перевод с другого языка.

$r=h\cdot\tg{\frac {\beta} {2}}$
$h=\frac {3V} {\pi r^2} \rightarrow h=\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}$
$h=\sqrt[3]{\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$
$u=\frac {V} {t} \rightarrow V=ut$
$h=\sqrt[3]{\frac {3ut} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$
$v=\frac {h} {t} \rightarrow v=\frac {\sqrt[3]{\frac {3ut} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}} {t}$
$v(t)=\sqrt[3]{\frac {3u} {\pi t^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$

[Dan B-Yallay]

uia в сообщении #624974 писал(а):

$h=\frac {3V} {\pi r^2} \rightarrow h=\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}$
$h=\sqrt[3]{\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$

Вы извлекаете кубический корень и при этом оставляете $h^2$ в знаменателе?

[gris]

Потом в самом конце этот $h^2$ магически пропадает, но беда в том, что скорость увеличения уровня не постоянна при постоянной скорости заливки. И скорость надо находить дифференцированием, а не простым делением на время. Хотя ответ изменится немного, на мультипликативную константу. Впрочем, ответ годен для выражения средней по времени, а не моментальной, скорости подъёма уровня.

(Оффтоп)

Интересно, что при прямой пропорциональной зависимости между средней и моментальной скоростью, функция будет степенной, что, конечно, легко видеть по правилу дифференцирования, но должно бы иметь глубокий физический смысл

[uia]

Dan B-Yallay в сообщении #624994 писал(а):

uia в сообщении #624974 писал(а):

$h=\frac {3V} {\pi r^2} \rightarrow h=\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}$
$h=\sqrt[3]{\frac {3V} {\pi h^2 (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$

Вы извлекаете кубический корень и при этом оставляете $h^2$ в знаменателе?

Нет, я просто копировал код и забыл убрать $h^2$

-- 30.09.2012, 11:51 --

gris в сообщении #625012 писал(а):

Потом в самом конце этот $h^2$ магически пропадает, но беда в том, что скорость увеличения уровня не постоянна при постоянной скорости заливки. И скорость надо находить дифференцированием, а не простым делением на время. Хотя ответ изменится немного, на мультипликативную константу. Впрочем, ответ годен для выражения средней по времени, а не моментальной, скорости подъёма уровня.
[/off]

$h=\sqrt[3]{\frac {3ut} {\pi (\tg{\frac {\beta} {2}})^2}}$Т.е для нахождения скорости мне необходимо найти $h'$ ?

-- 30.09.2012, 12:37 --

Всё, до меня наконец-то дошло. Спасибо большое за помощь.

[Nacuott]

Так где же все-таки скорость изменения уровня воды в конусе?

[Dan B-Yallay]

Nacuott в сообщении #625097 писал(а):

Так где же все-таки скорость изменения уровня воды в конусе?

$v =h'(t)=…$

[Nacuott]

Имеется ввиду явная формула.