Задача по МСС. Лагранжевы координаты.

[BFRZ]

Здравствуйте! Возникла сложность при решении задачи 1.8 из "Механика сплошных сред в задачах" под ред. М. Э. Эглит.

Условие задачи
Ввести лагранжевы координаты и найти закон движения сплошной среды, линии тока и траектории, если поле скорости имеет вид
$ v_1 = \frac{Q(t)x_1}{2\pi r^2}$, $ v_2 = \frac{Q(t)x_2}{2\pi r^2}$, $v_3 = 0$, $r = \sqrt{x_1^2+x_2^2}$, $Q(t)>0$

Мои попытки решения
С третьей координатой всё просто:

$$\frac{dx_3}{dt} = 0 \Rightarrow x_3 = C_3 = \operatorname{Const}$$

Вводим лагранжеву координату как значение эйлеровой в момент времени $t=0$:

$$x_3\bigg|_{t=0} = C_3 = \xi_3$$

С первой компонентой скорости я рассуждала так:

$$\frac{dx_1}{dt} = \frac{Q(t)x_1}{2\pi r^2}$$

$$\int\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1} dx_1 = \frac1{2\pi} \int Q(t)dt$$

$$\frac{x_1^2}2 + x_2^2\ln |x_1|=\frac1{2\pi} \int Q(t)dt\eqno(1)$$

аналогично получается выражение из второй компоненты скорости:

$$\frac{x_2^2}2 + x_1^2\ln |x_2|=\frac1{2\pi} \int Q(t)dt\eqno(2)$$

а вот как теперь выразить $x_1$ и $x_2$ из $\eqno(1)$ и $\eqno(2)$, я не представляю. Буду рада любой подсказке.

[Oleg Zubelevich]

надо просто решить задачу Коши $\dot x=v(x),\quad x(0)=\xi$, для этого надо ввести полярные координаты в плоскости $x_1,x_2$

[BFRZ]

ввожу $x_1 = r\cos \varphi$, $x_2 = r\sin \varphi$ при этом $r$ будет тем же, что и в условии задачи

тогда первое уравнение:

$$\frac{d(r\cos \varphi)}{dt} = \frac{Q(t)r\cos \varphi}{2\pi r^2}$$

$$\int{\frac{r^2 d(r\cos \varphi)}{r\cos \varphi}} = \frac1{2\pi} \int{Q(t) dt} $$

$$\int{\frac{r^2 d(r\cos \varphi)}{r\cos \varphi}} = \int{\frac{r(\cos \varphi dr - r \sin \varphi d\varphi)}{\cos \varphi}} = \int rdr - r^2 \int \tg \varphi d\varphi = \frac{r^2}2 + r^2 \ln \cos \varphi$$

т. е.

$$ \frac{r^2}2 + r^2 \ln \cos \varphi = \frac1{2\pi} \int{Q(t) dt} \eqno(1')$$

аналогичным образом из второго уравнения получается:

$$ \frac{r^2}2 + r^2 \ln \sin \varphi = \frac1{2\pi} \int{Q(t) dt} \eqno(2')$$

кажется, $\eqno(1')$ и $\eqno(2')$ ничуть не прояснили ситуацию по сравнению с $\eqno(1)$ и $\eqno(2)$. Или я что-то делаю не так?

[Oleg Zubelevich]

ошибки Вы уж сами у себя ищите

одно из уравнений должно быть $\frac{d}{dt}r^2=Q/\pi$