mod-ы

[Alexdn]

Почему именно mod-ы (остатки от деления) так широко применяются теорией чисел? из-за прогнозируемости их свойств? просто как то интересно..

[mihailm]

потому что это работает

[Батороев]

По другому mod-ы можно охарактеризовать, как "выраженные в десятичной форме окончания чисел в n-чной системе счисления". Со всеми вытекающими последствиями.

[Sonic86]

Alexdn в сообщении #624600 писал(а):

Почему именно mod-ы (остатки от деления) так широко применяются теорией чисел? из-за прогнозируемости их свойств? просто как то интересно..

Применяются чаще классы вычетов. Ну просто потому что они довольно часто везде вылазят. Например, все гомоморфизмы кольца $\mathbb{Z}$ - это как раз $\mathbb{Z}_n$. В частности, это означает, что если Вы решаете уравнения в целых числах, то Вы можете пользоваться свойствами вычетов. Кольца $\mathbb{Z}_n$ конечны, что очень удобно.
Ну можно много что написать...

[atlakatl]

Батороев в сообщении #624761 писал(а):

mod - "выраженные в десятичной форме окончания чисел в n-чной системе счисления"

Теория чисел только для удобства пользуется десятичной системой. И результат оператора mod от системы счисления никак не зависит, хотя и выглядит в них по-разному.
А вот Ваше определение никак в голове не укладывается. При чём здесь окончания чисел? Почему mod обречён "выражаться" в десятичной системе?

[Sonic86]

atlakatl в сообщении #624768 писал(а):

Теория чисел только для удобства пользуется десятичной системой....

Да не при чем тут это.... Батороев просто сказал, что мы пишем конкретные числа в десятичной системе счисления.
Вообще, правильнее говорить именно о классах вычетов, а не об остатках. Остатки просто более понятны.

[Батороев]

atlakatl в сообщении #624768 писал(а):

Теория чисел только для удобства пользуется десятичной системой. И результат оператора mod от системы счисления никак не зависит, хотя и выглядит в них по-разному.
А вот Ваше определение никак в голове не укладывается. При чём здесь окончания чисел? Почему mod обречён "выражаться" в десятичной системе?

В записи чисел в любых системах (например, в n-чной) окончание (последняя цифра) - это то, что не вошло в число целых "десятков", другими словами, что не поделилось на n, а это и есть остаток.
Результат оператора mod напрямую связан с основанием, поэтому по моей интерпретации напрямую связан с системой счисления. Почему окончания чисел в различных системах должны были бы записываться в десятичной системе? По-видимому, по причине указанного Вами удобства.

-- 29 сен 2012 20:21 --

Более того, я на форуме уже неоднократно предлагал записывать числа в различных системах, используя цифры в виде чисел десятичной системы, отделяя цифры друг от друга какими-нибудь разделителями.
Например:
$11514_{10}=21|17|14_{23}$

[xmaister]

Sonic86 в сообщении #624766 писал(а):

все гомоморфизмы кольца $\mathbb{Z}$ - это как раз $\mathbb{Z}_n$.

Как фактор $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ может быть гомоморфизмом?

[bot]

Подумаешь - оговорился. Ну все факторы ...
Хм, среди факторов есть нулевое кольцо и всё $\mathbb Z$ - это $\mathbb Z_1$ и $\mathbb Z_\infty$, что ли?

[Joker_vD]

bot
$\mathbb Z_1=\mathbb Z/1\mathbb Z=\mathbb Z/\mathbb Z=\{0\}$;
$\mathbb Z_0=\mathbb Z/0\mathbb Z=\mathbb Z/\{0\}=\mathbb Z$.

[bot]

С $\mathbb Z_1$ всё понятно и всё сходится: идеал - всё кольцо, в факторе 1 элемент и сравнение по модулю 1 означает ровно то же - всё слипнется.
В случае же когда идеал нулевой, то понятно - это $\{0\}=0\cdot\mathbb Z$, тогда $\mathbb Z/\{0\}=\mathbb Z$, но обозначать этот фактор значком $\mathbb Z_0$ рука не поднимается - так как число элементов в нём уж точно не совпадает с индексом 0 - вот он где высунулся образующий главного идеала!
Хотя всё-таки сравнение по модулю ноль при надлежащей интерпретации даёт отношение равенства (*), то есть с этих позиций обозначение $\mathbb Z_0=\mathbb Z$ оправдано.
(*) $a\equiv b\pmod {0} \Leftrightarrow (\exists k\in \mathbb Z)(a-b=k\cdot 0=0)$