Инфинум

[Trius]

Три положительные действительные числа a,b,c такие, что $a^2+b^2+c^2=1$.Доказать, что
$\inf(\frac{a}{a^3+bc} + \frac{b}{b^3+ca} +\frac{c}{c^3+ab}) \geqslant 3$

[Руст]

Простого решения не знаю. Можно фиксировать максимальный элемент a и менять b и c, так, чтобы сумма квадратов оставалалась постоянной. При этом минимум получится, когда b=c. Исследуя этот случай не сложно установить, что inf достигается при стремлении а к 1, b=c стремятся к 0. При этом inf =3.

[abc]

a/a^3+bc=1/(a^2+bc/a)
рассмотрим a^2+bc/a
a^2+bc/a<=a^2+bc=1-b^2-c^2+bc<=1-b^2-c^2+b^2c^2=1-(b^2(1-c^2)+c^2)<=1
=>a/a^3+bc>=1 и так же с остальными слагаемыми[/list]

[Trius]

abc
в определение инфинума входит еще и то ,что для любого $\epsilon>0$ найдется елемент множества, менший чем $\inf+\epsilon$

Добавлено спустя 7 минут 47 секунд:

тем более, что неравенство $bc\leq b^2c^2$ - неправильное

[abc]

если она ограничена снизу числом 3 то и inf>=3

Добавлено спустя 1 минуту 56 секунд:

да

налажал

Добавлено спустя 6 минут 25 секунд:

[quote="Trius"]abc
в определение инфинума входит еще и то ,что для любого $\epsilon>0$ найдется елемент множества, менший чем $\inf+\epsilon$
это не входит в определение инфинума

[незваный гость]

Инфимум (inf, infimum), есть точная нижняя грань, т.е. $a = \inf M \buildrel{def}\over\Leftrightarrow$ $a$ такое, что $\forall m \in M: a \leq m$ (условие нижней грани), и $\forall \varepsilon >0: \exists m \in M: m < a + \varepsilon$ (условие точности нижней грани).

q.v. mathworld: infimum

[abc]

везде конечно по-разному вводитя но вообще Inf это наибольшая из нижних граней а то что для любого e найдется елемент множества, менший чем inf+e-это критерий inf