2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Жорданова форма. Сингулярное разложение.
Сообщение27.09.2012, 23:43 
Доброго времени суток.
1.Нужен совет по нахождению жордановой формы и жорданова базиса.
Дана матрица A = $
\left( \begin{array}{cccc} 
0 & 1 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right)$.
Я нашёл собственное значение \lambda = 0. Строю таблицу из стандартного базиса и степеней матрицы A-\lambda E до тех пор, пока возведение в степень не даст 0. Начиная снизу, максимально зануляю преобразованиями длинных столбцов.
$
\left( \begin{array}{cccc} 
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right)$
$
\left( \begin{array}{cccc} 
0 & 0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1  \\
0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right)$
$
\left( \begin{array}{cccc} 
0 & 0 & 0 & 2 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right)$
Крайний правый столбец даст 3 из 4 столбцов жорданова базиса. Но как получить четвёртый?



2. Не могу разобраться с сингулярным разложением B=QWP^-1
Дана матрица B = $
\left( \begin{array}{cc} 
0 & 2 \\ 
1 & 0 \\
-2 & -1  \\\end{array} \right)$. Находим B^TB=\left( \begin{array}{cc} 
5 & 2 \\ 
2 & 5 \\\end{array} \right)$. Собственные значения \lambda_1=3, \lambda_2=7.
Соответственно, сингулярные числа равны \alpha_1=\sqrt 3, \alpha_2=\sqrt 7. W найдена.
Найдём собственные вектора u_1=$
\left( \begin{array}{c} 
-1 \\ 
1 \\\end{array} \right),u_2=$
\left( \begin{array}{c} 
1 \\ 
1 \\\end{array} \right) матрицы B^TB. Нормируем их. Получаем v_1= (\sqrt2 /2)u_1, v_2=(\sqrt2 /2)u_2.
Таким образом мы получили матрицу P=\sqrt2 /2 $
\left( \begin{array}{cc} 
-1 & 1 \\ 
1 & 1 \\\end{array} \right)$.
Как теперь найти Q?

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group