Нужен пример топоса

[jhanjaa]

Здравствуйте! Пожалуйста, может кто-то приведет пример топоса, в котором бы

$$1+1\ncong\Omega,$$

а

$$1+1+1$$

или

$$1+1+1+...\cong\Omega,$$

где 1 - конечный объект, а $\Omega$ - объект истинностных значений?
Дело в том, что из общих соображений, такой топос должен существовать, но для мономорфности соответствующей стрелки

$$[\top,\bot,T_{\mu}]:1+1+1\longrightarrow \Omega,$$

где

$$T_{\mu}$$

- третье истинностное значение -

$$\xymatrix{ \mu \ar[d]_{!} \ar[r]^{!} & 1 \ar[d]^{T_{\mu}} \\ 1 \ar[r]^{\top} & \Omega },$$

- должно быть

$$\mu+1\cong 1,$$

что, похоже, не выполняется, если

$$\mu\ncong 0.$$

(Во всяком случае в топосе функций $Set^{\rightarrow}$ такая стрелка не мономорфна.)
В чем дело?

[Mysterious Light]

Если $T_\mu$ Вы вводите по $\Omega$-аксиоме, то $!_\mu$ должен быть мономорфизмом, что может быть только при $\mu \cong 0$, если я не ошибаюсь.

Пример топоса, где $\Omega \ncong 2$:
топос М-множеств (множество с фиксированным действием фиксированного моноида М на него).
У него $\Omega$ — множество всех левых идеалов,
$1$ — это одноэлементное множество,
сумма аналогична сумме в $Set$ с соотв. действием, поэтому $2=1+1$ — это двуэлементное множество с некоторым действием.
Если M — не группа, то $\Omega \ncong 2$ (топос М-множеств неклассичен)

Опираюсь на §4.6 и §5.4 «Топосы...» Р.Голдблатта

[jhanjaa]

Спасибо за ответ, но все не совсем так. У конечного объекта могут быть ненулевые, но пустые подобъекты. В топосе пар множеств

$$Set^2$$

таких два, в топосе функций

$$Set^\rightarrow$$

- один (у Голдблатта это разбросано в нескольких местах). При этом

$$Set^2$$

- классический, а

$$Set^\rightarrow$$

- нет. Топос M-set вообще патологический, но представлялось, что могут быть многозначные топосы, которые бы были неклассические, но аналогичные им, т.е., например,

$$[\top,\bot,T_{\mu}]:1+1+1\longrightarrow \Omega,$$

была бы изоморфной. В

$$Set^\rightarrow$$

это не так. И у меня получается, что для мономорфности такой стрелки должно быть

$$\mu+1 \cong 1,$$

что для ненулевого, хоть и пустого подобъекта 1, по моим представлениям не выполняется. Но может быть я в чем-то ошибаюсь?