Теорема Чезаро-Штольца

[Keter]

Где можно найти и изучить доказательство теоремы Чезаре-Штольца?

Цитата:

Пусть задана последовательность $(a_n), \quad a_0=1$. И пусть справедливо $\Big( a_{n+1}^s-a_n^s \Big) \rightarrow h$. Тогда

$$\dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \Big( a_{n+1}^s-a_n^s \Big) \rightarrow h, \quad n \to \infty.$$

Откуда $a_n \sim \sqrt[s]{hn}$.

[RIP]

Док-во теоремы Штольца можно почитать даже в Википедии: нажми меня. Нужная Вам теорема получается при $b_n=n$.

[alcoholist]

а зачем там $s$?

Положим $b_n=a_n^s/h$

[Keter]

Цитата:

Откуда $a_n \sim \sqrt[s]{hn}$.

Я не понимаю вот этого перехода, на основании чего он делается.

alcoholist, ну просто если будет легче предел через степень найти, то это разрешается. То есть не только для s=1, но и для всех остальных, кроме нуля наверное.

[RIP]

Просто в сумме почти все слагаемые уничтожаются, и в итоге получаем $a_n^s/n\to h$, то есть $a_n^s/(hn)\to1$. Извлекаем корень $s$-й степени. (Видимо, считается, что $h,s>0$.)

[Keter]

RIP, да, подразумевается, что $h, s>0$

Ну вот в принципе мне теперь все понятно. Только не разобрался еще с этим вот переходом на эквивалентность, как там слагаемые уничтожаются...

[RIP]

телескопический ряд