Разность наименьших общих кратных

[Ktina]

Вместо звёздочек вставить в выражение

$$\text{НОК}(*, *, *)-\text{НОК}(*, *, *)\in\mathbb P$$

в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы оно стало истинным.
Найти все возможные варианты и доказать, что других нет.
($\mathbb P$ -- это множество всех простых чисел)

[chessar]

Неужели только так (не учитывая конечно порядок в каждой из скобок)?

\[ \text{HOK}(1,3,5)-\text{НОК}(2,4,6)=15-12=3\in\mathbb{P}. \]

[Ktina]

chessar в сообщении #623977 писал(а):

Неужели только так (не учитывая конечно порядок в каждой из скобок)?

\[ \text{HOK}(1,3,5)-\text{НОК}(2,4,6)=15-12=3\in\mathbb{P}. \]

Вся изюминка -- в ответе на вопрос о единственности этого решения.

[ИСН]

$$\text{HOK}(3,5,6)-\text{НОК}(2,4,7)=30-28=2$$

Э?

[Ktina]

ИСН в сообщении #623989 писал(а):

$$\text{HOK}(3,5,6)-\text{НОК}(2,4,7)=30-28=2$$

Э?

Ну я же сказала, "в ответе на вопрос о единственности", а не "в доказательстве единственности".

[Sender]

Ещё решение: $\text{HOK}(6,8,9)-\text{НОК}(5,7,10)=72-70=2$.

[Cash]

Для малых чисел находим перебором
Всего у нас, с точностью до перестановки, 5 решений
$lcm(3,4,6)-lcm(1,2,5)=12-10=2$
$lcm(1,3,5)-lcm(2,4,6)=15-12=3$
$lcm(3,5,6)-lcm(2,4,7)=30-28=2$
$lcm(3,6,7)-lcm(4,5,8)=42-40=2$
$lcm(6,8,9)-lcm(5,7,10)=72-70=2$

Пусть $A_1 = (a+i_1)(a+i_2)(a+i_3)$
$A_2 = (a+j_1)(a+j_2)(a+j_3)$
где $(i_1,i_2,i_3,j_1,j_2,j_3)$ - некая перестановка $(1,2,3,4,5,6)$
Имеем $lcm (x,y,z)= lcm (lcm(x,y),z)=lcm(\frac{xy}{\gcd(x,y)},z)=\frac{xyz}{uv}$, где $u,v \leq 6$ (в нашем случае)
Т.к. возможные простые значения разности lcm - 2 или 3,
то имеем $lcm(a+i_1,a+i_2,a+i_3) - lcm(a+j_1,a+j_2,a+j_3) = A_1/d_1-A_2/d_2=\varepsilon$, откуда
$A_1/A_2=d_1/d_2+ d_1\varepsilon/A_2$
При увеличении $a$, левая часть стремится к 1, а правая часть от единицы отделена, поскольку $d_1\neq d_2$ и $d_1,d_2 \leq 30$
Грубо оценивая, у меня получилось, что проверить надо до $a\leq 100$.

(Оффтоп)

блин, по стилю я почти догнал наших ферматистов...

[nnosipov]

Cash в сообщении #624290 писал(а):

(Оффтоп)

блин, по стилю я почти догнал наших ферматистов...

(Оффтоп)

Вы им сильно льстите.

[Руст]

Cash в сообщении #624290 писал(а):

Для малых чисел находим перебором

Т.к. возможные простые значения разности lcm - 2 или 3,
то имеем $lcm(a+i_1,a+i_2,a+i_3) - lcm(a+j_1,a+j_2,a+j_3) = A_1/d_1-A_2/d_2=\varepsilon$, откуда
$A_1/A_2=d_1/d_2+ d_1\varepsilon/A_2$
При увеличении $a$, левая часть стремится к 1, а правая часть от единицы отделена, поскольку $d_1\neq d_2$ и $d_1,d_2 \leq 30$
Грубо оценивая, у меня получилось, что проверить надо до $a\leq 100$.

(Оффтоп)

блин, по стилю я почти догнал наших ферматистов...

Так не сосчитать, сокращение возможно и на 4,6,8.
Надо учесть, что если не берутся числа $(n,n+2,n+4), (n+1,n+3,n+5)$ (в одну кучу четные в другую нечетные, то разница уже делится на 2. А в указанным случае на 3, так как в каждой тройке хотя бы одно из них делится на 3.
Рассмотрим вначале такое разбиение $lcm(n,n+2,n+4)-lcm(n+1,n+3,n+5)=\pm 3$. Так как для нечетной тройки НОК= произведению, а для четной произведение деленное на 4 или 8, указанные решения дадут все решения этого случая.
В других случаях оба НОК четные и разница должна быть 2. В этом случае в одну тройку попадет два четных, в другую только одно четное число, соответственно, первое сокращается на 2 или 4, второе нет. Даже если второе сокращается на 3, то разница между ними будет больше 2 уже при $n>6$. Соответственно приходится немного перебирать.

[Cash]

Сокращение возможно на числа вида $uv$, где $u,v \leq 6, \; u \neq v$ (хотя, кажется, вру - на 18 вроде нет, ну да ладно)
Среди возможных сокращений достижимый минимум $d_1/d_2$ равен $20/18=10/9=1.111...$
$\frac{88\cdot 87\cdot 86}{85\cdot 84\cdot 83} = 1.1110..$
Далее я остановился, поскольку перебирал на компе, а ему, что 10, что 100 - всё меньше секунды.
Хотя, конечно, резерв в виде нахождения именно возможных пар $(d_1,d_2)$ был. Правда небольшой. Пара (6,5) достижима, а это дает 1.2 и проверку до 47. Что, по факту, тоже очень грубо.

-- Пт сен 28, 2012 17:23:40 --

Можно пойти дальше и оценивать достижимость пар и оценку частного произведений чисел в тройках для каждого из 10 возможных случаев разбиения. В этом случае перебор действительно можно остановить в районе 10-15.
Но, честно говоря, на программу перебора я потратил не более 20 минут...

[Руст]

Случай, когда в одной тройке 2 четных, в другой одно, результат разницы 2. Вначале исключаем сокращение на 5, когда два крайних числа делятся на 5. Тогда в другой группе возможно сокращение на 6. Худший случай (максимально возможное) $\frac{n(n+5)(n+2)}{5}-\frac{n+1)(n+3)(n+4)}{6}=2$. Тогда должно быть $n=5+30k$. Решение получается только в первом случае (правда больше второе) НОК(6,8,9)-НОК(5,7,10)=72-70=2.
Других случаев сокращения на 5 нет (так как иначе другой не может сокращаться даже на 4). Когда одно сокращается на 3, другое на 4, максимальное значение n<15. Случаи $n\ge 10$ легко проверяются (нет решений). Остается проверять только $n\le 9$ для чисел $n,n+1,...,n+5$. Перебор случая разницы 2 сокращен, кто то может продолжит.