Простое поле

[xmaister]

Пусть $\mathbb{F}$- простое поле и $A\subset\mathbb{F}, x\in\mathbb{F}$- такие, что $|B|<|A|^2$, где $B=\{a(a+x)|a\in A\}$. Докажите, что существуют такие $a,b,c,d\in A$, где $a\ne c$, такие что $x=\frac{ab-cd}{a-c}$.

[nnosipov]

Какая-то странная формулировка. Условие $|B|<|A|^2$ странно выглядит на фоне определения множества $B$. Поясните, что Вы имеете в виду. $|X|$ --- это число элементов в $X$ или что?

[xmaister]

Да, $|X|$- число элементов множества $|X|$.

[nnosipov]

Но тогда, очевидно, $|B| \leqslant |A|$.

[xmaister]

Прошу прощения за не внимательность. $B=\{a(b+x)|a,b\in A\}$.

[nnosipov]

А, тогда другое дело. Но, кажется, вполне очевидное. А зачем нужна простота поля? Для любого поля верно, если дополнительно считать, что $A$ не содержит нуля. А если $A$ содержит нуль, то утверждение может быть неверным даже для простого поля. В общем, странная задача у Вас получилась