2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Куб. ур-ние
Сообщение09.02.2007, 19:47 


07/02/07
10
Киев
из системы подобной этой(№3) вышло такое ур-ние:
t^3-t^2+t*(17-3a)/2-a=0
Найти а, при которых ровно 3 ответа...
(Я правильно понял, что t1=t2 и при этом t3<>t1, а ответами будут комбинации: (t1;t1;t3)(t1;t3;t1)(t3;t1;t1)?)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2007, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Нужно посчитать дискриминант этого уравнения. Кубическое уравнение будет иметь три вещественных корня тогда и только тогда, когда он положителен.
Я не помню, как считается дискриминант общего кубического уравения, но его можно привести заменой $t=x+1/3$ к уравнению $x^3+px+q=0$, а для него дискриминант равен $D=(-108)((q/2)^2+(p/3)^3)$.

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

А можно просто нарисовать график функции $y=t^3-t^2$ и посмотреть, когда прямая $y=A$ пересекает его в трех точках...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2007, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Имеется в виду три разных комплексных корня, три разных вещественных корня, или три вещественных корня (все равно каких)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2007, 21:25 


07/02/07
10
Киев
:oops: исправил уравнение. :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2007, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
-sss-

Всё равно придётся сводить к решению Кардано. Отмечу, что общяя замена выглядит вот так: $x = y - \frac b {3a}$ (понятно, что здесь $b= -1, a=1$)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2007, 22:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Думаю идёт речь о трёх действительных корнях. Решается просто $g(t)=\frac{17-3a}{2}t-a,f(t)=t^2-t^3, \ \ g(t)=f(t)$. Про g(t) известно, что g(2/3)=17/3. В этой точке f(t) имеет максимальное значение < 17/3. Поэтому, три корня будут тогда и только тогда, когда (17-3a)/2 будет меньше наклона касательной, проведённой через точку с координатами (2/3,17/3) к графику f(t). Для нахождения х-овой координаты точки касания получаем уравнение $\frac{17/3-x^+x^3}{2/3-x}=f'(x)=2x-3x^2$. Решая это уравнение получаем нераенство a>(17-2f'(x))/3=(17-4x+6x^2)/3. При нестрогом неравенстве (a=17-4x+6x^2)/3 получается один кратный и один простой корень.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2007, 22:39 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Я бы решал так.
Приведем уравнение к виду $t^2(t-1)=\frac{3a-17}{2}t+a$.
Слева стоит функция $f(t)=t^2(t-1)$, график которой легко построить. Справа стоит линейная функция, ее график - прямая.

Теперь нужно выяснить, при каких значениях $a$ прямая пересекает график функции $f(t)$ в трех различных точках.

Далее рассматриваем два случая: $a\geqslant 0$ и $a<0$.
Учитывая, что прямая проходит через точку $(0,a)$, в каждом из случаев определяем условие на угловой коэффициент прямой, при котором будет три точки пересечения.

Например, для $a<0$ получится условие $\frac{3a-17}{2}>k(a)$, где $k(a)$ - угловой коэффициент касательной к $f(t)$, проходящей через точку $(0,a)$ (его несложно выписать). (Что-то вроде такого неравенства будет и при $a\geqslant 0$.)

Далее это неравенство решаем и пересекаем с соответствующим множеством ($a\geqslant 0$ или $a<0$), и в результате получаем ответ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.02.2007, 23:52 


07/02/07
10
Киев
прийдется решать графическим методом, т.к. во всех полученых уравнениях иррациональные корни(это что-то означает или нет??)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 02:00 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
-sss- писал(а):
прийдется решать графическим методом, т.к. во всех полученых уравнениях иррациональные корни(это что-то означает или нет??)
В каких полученных уравнениях?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17991
Москва
Из заданного уравнения выражаем $a=\frac{2t^3-2t^2+17t}{3t+2}=\frac 23t^2-\frac{10}9t+\frac{173}{27}-\frac{346}{27(3t+2)}$. Графиком этой функции является трезубец Ньютона: вверх направлены две параболические ветви и одна гиперболическая с асимптотой $t=-\frac 23$, вниз - одна гиперболическая. Функция имеет один минимум, который обозначим $a_{\min}$, других экстремумов нет. При $a>a_{\min}$ заданное уравнение имеет три различных корня, при $a=a_{\min}$ - два, при $a<a_{\min}$ - один.
Дифференцируя, находим $\frac{da}{dt}=\frac 43t-\frac{10}9+\frac{346}{9(3t+2)^2}=\frac{2(6t^3+3t^2-4t+17)}{(3t+2)^2}$. Производная обращается в $0$ в точке $t_{\min}=-\frac 16\left(1+\sqrt[3]{319+2\sqrt{25258}}+\sqrt[3]{319-2\sqrt{25258}}\right)\approx-1.77495$.
Подставляя $t_{\min}$ в выражение для $a$, получим $a_{\min}=\frac 1{18}\left(125+\sqrt[3]{332123+1168\sqrt{25258}}+\sqrt[3]{332123-1168\sqrt{25258}}\right)\approx 14.3341$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 17:36 


07/02/07
10
Киев
Gordmit писал(а):
-sss- писал(а):
прийдется решать графическим методом, т.к. во всех полученых уравнениях иррациональные корни(это что-то означает или нет??)
В каких полученных уравнениях?

1способ)одно полученое из самой системы:
3z^3-12z^2+7z-66=0 (см. пост №1, где z есть t3)
2способ)второе по формуле Кардано, как писал Lion
1458a^3-82863a^2+346896a-435107<0
или их все-таки можно решить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 23:42 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Действительно, похоже, что придется в любом случае использовать формулу Кардано.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.02.2007, 00:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Другого не дано для этого примера. Я так же не найдя (его нет) рациональный корень больше 2/3 не стал доводит решения до конца. По видимому, в условии закралась ошибка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.02.2007, 16:22 


07/02/07
10
Киев
да, действительно, нашел ошибку. всем спасибо :)

p.s. а можно подробнее про корни...
например, как назвать такие (t1;t1;t3)(t1;t3;t1)(t3;t1;t1)
тогда их искать так? q2/4+p3/27 =0

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.02.2007, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
В таких случаях говорят, что уравнение имеет кратный корень $t_1$. При этом если говорят о количестве корней в такой ситуации, обычно уточняют, считать ли кратные корни за один или нет.
Кратные корни можно искать, приравняв дискриминант к 0. Но гораздо легче воспользоваться тем, что если $x_0$ --- кратный корень многочлена $P(x)$, то $x_0$ --- корень многочлена $P'(x)$, поэтому можно просто найти наибольший общий делитель многочленов $P(x)$ и $P'(x)$ и найти его корни. Они и будут кратными.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group