Непростой диффур

[integral2009]

$y'''=3yy'$

Пробовал замену $y'=p\;\;\;\;\;\;\;y''=pp'(y)$ -- все еще устрашнилось....

Может другая какая-то замена поможет?

[gris]

А что такого страшного?
$p^2p''+pp'^2=3yp$
Константа есть
$pp''+p'^2=3y$
Это как решать?

[SpBTimes]

$(y'')' = (\frac{3}{2}y^2)'$
$y'' = \frac{3}{2}y^2 + С$
И сводится к уравнению первого порядка

[Someone]

integral2009 в сообщении #622069 писал(а):

Пробовал замену $y'=p\;\;\;\;\;\;\;y''=pp'(y)$

А штрих что обозначает? Производную по $x$ или по $y$?
А пару способов решения (впрочем, мало отличающихся), Вам уже посоветовали.

[integral2009]

Спасибо!

А у меня получилось

$p^2p''+2pp'^2=3yp$

Да, но ведь такое уравнение -- тоже не очевидно -- как решать $pp''+2p'^2=3y$

Вероятно, я где-то по пути лишнюю "2" нашел, но все равно - не очевидно - как дальше...

-- Пт сен 21, 2012 22:22:48 --

Someone в сообщении #622086 писал(а):

integral2009 в сообщении #622069 писал(а):

Пробовал замену $y'=p\;\;\;\;\;\;\;y''=pp'(y)$

А штрих что обозначает? Производную по $x$ или по $y$?
А пару способов решения (впрочем, мало отличающихся), Вам уже посоветовали.

Штрих имел ввиду $y'=\dfrac{dy}{dx}$, $p'(y)=\dfrac{dp}{dy}$ думал, что по контексту - будет понятно

-- Пт сен 21, 2012 22:24:56 --

SpBTimes в сообщении #622081 писал(а):

$(y'')' = (\frac{3}{2}y^2)'$
$y'' = \frac{3}{2}y^2 + C$
И сводится к уравнению первого порядка

Спасибо, хорошая идея!

[Someone]

integral2009 в сообщении #622088 писал(а):

Да, но ведь такое уравнение -- тоже не очевидно -- как решать $pp''+2p'^2=3y$

Вероятно, я где-то по пути лишнюю "2" нашел, но все равно - не очевидно - как дальше...

А без "двойки" слева стоит производная произведения.

[integral2009]

Что-то мне не найти ошибку..

$y''=\dfrac{dp}{dx}=p\dfrac{dp}{dy}$

$y'''=\dfrac{d}{dx}y''=\dfrac{d}{dx}\Big(p\dfrac{dp}{dy}\Big)=\dfrac{dp}{dx}{\dfrac{dp}{dy}+p\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{dp}{dy}\Big)$

$y'''=p\Big(\dfrac{dp}{dy}\Big)^2+p\dfrac{d}{dy}\Big(\dfrac{dp}{dx}\Big)=p\Big(\dfrac{dp}{dy}\Big)^2+p\dfrac{d}{dy}\Big(p\dfrac{dp}{dy}\Big)$

$y'''=p\Big(\dfrac{dp}{dy}\Big)^2+p\Big(\dfrac{dp}{dy}\Big)^2+p\dfrac{d^2p}{dy^2}$

$y'''=2p\Big(\dfrac{dp}{dy}\Big)^2+p\dfrac{d^2p}{dy^2}=2pp'^2+pp''(y)$

[Someone]

Переход от второй строчки к третьей ошибочен. А во второй лучше сразу записать по формуле производной сложной функции

$$\frac{dy''}{dx}=\frac d{dy}\left(p\frac{dp}{dy}\right)\cdot\frac{dy}{dx}=\ldots$$

и не выдумывать перестановку дифференцирований там, где она незаконна.

[integral2009]

Спасибо, теперь понятно.

$pp''+p'^2=(pp')'$

А дальше - все ясно.

А как узнать -- где перестановка дифференцирований законна, а где - нет?

[Someone]

integral2009 в сообщении #622120 писал(а):

А как узнать -- где перестановка дифференцирований законна, а где - нет?

В учебнике математического анализа. Там, где рассматриваются смешанные частные производные функций нескольких переменных. Обратите внимание, что там речь идёт о независимых переменных, а у Вас $x$ и $y$ являются функциями друг друга, да и производные вовсе не частные.