"Про количество решений диофантового уравнение" (задача)

[MaXnaTiK]

Для целого положительного n и натурального m, обозначим через $S_m(n)$ количество всех решений уравнения $x_1^2 + x_2^2 + ... + x_m^2 = n $ в целых числах $x_1, x_2, ..., x_m $ (решения $<u_1, u_2, ... , u_m>$ и $<v_1, v_2, ... , v_m>$ считаются одинаковыми, только при равенстве кортежей, т.е. $ u_1 = v_1 , u_2 = v_2 , ... , u_m = v_m $. Найдите сумму $\sum_{i=-[\sqrt{n}]}^{[\sqrt{n}]} (n-(m+1)i^2)S_m(n-i^2)$
Задача взята из отборочного этапа 15 всеукраинского турнира юных математиков (школьников) имени Ядренко.

Собственно вопрос: как определить функцию S? Под знаком суммы, естественно, ничего не упрощается (разве что можно заменить диапозон индекса удвоением результата). При $m = 1$ S определенна естественным образом. При $m = 2$ следует из известных формул. Для $m = 3$ или $m = 4$ вопрос открыт. Для $m > 4$ можно применить решение $S_4(n-C)$, опираясь на теорему Лагранжа о сумме четырех квадратов, где C принимает все значения, удовлетворяющие неравенству: $\sum_{i=1}^{m-4} a_i^2 < n$, где $a_i$ принадлежит множеству целых чисел.
Какие идеи будут по нахождению общего вида функции S?