Неравенство

[Keter]

Решить неравенство

$$\sqrt{x-\sqrt{2}}+\sqrt{x+\sqrt{2}}>\sqrt{2}.$$

Есть стандартный способ решения, но у меня вопрос: можно ли действовать иначе?

Например так:

ОДЗ задается промежутком $M=\Big[ \sqrt2; +\infty \Big)$. Функция $f(x)=\sqrt{x-\sqrt{2}}$ возростает на $M$ и её минимальное значение $\min f(x)=f(\sqrt2)=0$. Функция $g(x)=\sqrt{x+\sqrt{2}}$ возростает на $M$ и её минимальное значение $\min g(x)=g(\sqrt2)=\sqrt{2\sqrt{2}}$. Тогда функция $\varphi(x)=f(x)+g(x)$ возростает на $M$ и её минимально значение $\min \varphi(x)=\min \Big( f(x)+g(x) \Big)=\sqrt{2\sqrt{2}}$. Так как неравенство $\sqrt{2\sqrt{2}}>\sqrt{2}$ выполняется, то при всех $x \in M$ будет справедливо $\sqrt{x-\sqrt{2}}+\sqrt{x+\sqrt{2}}>\sqrt{2}.$

[venco]

Можно.

[Keter]

venco, отлично Спасибо.

[Praded]

Можно также умножить на выражение, сопряжённое левой части.