Вопрос об отношении функций, включении области значений

[freeot]

Если рассматривать две функции с одинаковой областью определения (например, множество натуральных чисел или заданное ограниченное множество), можно ли математически строго показать, что область значений одной функции полностью принадлежит (или не принадлежит) области значений другой функции? Существует математический аппарат для этого?
Посещают мысли о том, что должен существовать аналог принципа остатка от деления. Так же как для чисел он показывает делится ли одно число на другое нацело или нет, так и для функций что-то должно быть такое, чтобы можно было проверить - является ли одна функция "частью" другой с точки зрения множества результатов.
Например, пусть есть множество определения (0,1,2,3..N).
В первом случае, одна функция пусть будет $Y_1=x+2$, а вторая $Y_2=x+4$. Можно оперируя выражениями функций показать, что $Y_1$ "включает" в себя $Y_2$ (т.е., область значений $Y_2$ принадлежит области значений $Y_1$)?
В другом случае, одна функция пусть будет $Y_1=2x$, а вторая $Y_2=2x+1$. Можно математически показать, что у них нет "точек пересечения"?

[migmit]

А в чём проблема-то? Берём точку из области значений $Y_2$, легко доказываем, что она лежит (или, соответственно, не лежит) в области значений $Y_1$.

[freeot]

Без подстановки числовых величин это как делается?
Т.е., это можно показать в обобщенном виде - что все точки из области значений $Y_2$ принадлежат области значений $Y_1$?
И обратная задача - показать, что не все точки из области значений $Y_1$ принадлежат области значений $Y_2$?

[statistonline]

freeot в сообщении #621074 писал(а):

В первом случае, одна функция пусть будет , а вторая . Можно оперируя выражениями функций показать, что "включает" в себя (т.е., область значений принадлежит области значений )?
В другом случае, одна функция пусть будет , а вторая . Можно математически показать, что у них нет "точек пересечения"?

Не совсем понятно, почему Вы сначала спрашиваете об области значений, а потом о точках пересечения. И в первом, и во втором случае области значения совпадают.
Математически показать отсутствие точек пересечения можно - это параллельные прямые, так как угловые коэффициенты одинаковы. Или Вы что-то другое имели ввиду?

[freeot]

statistonline в сообщении #621309 писал(а):

И в первом, и во втором случае области значения совпадают.

Может я неправильными словами что-то говорю?
В первом случае областью значений функции $Y_1=x+2$ будет множество (3, 4, 5, 6, 7... ), а областью значений функции $Y_1=x+4$ будет множество (5, 6, 7, 8...). Если x - натуральное. Т.е., значения "3" и "4" будут принадлежать только множеству значений функции $Y_1$. И все множество значений функции $Y_2$ будет принадлежать множеству значений функции $Y_1$. Но не наоборот.
Во втором случае областью значений функции $Y_1=2x$ будет множество (2, 4, 6, 8... ), а областью значений функции $Y_1=2x+1$ будет множество (3, 5, 7, 9...). Т.е., их множества значений не имеют общих элементов (пересечение множеств их значений является пустым множеством).
Соответственно, вопрос в том, как опираясь на выражения функций показать что пересечение множества их значений тождественно множеству значений одной из функций и не тождественно другой?

-- 20.09.2012, 10:45 --

Мне кажется, что должна существовать такая операция с выражениями двух функций (например, наобум - вычесть, разделить, приравнять, выразить одну через другую), что по характеру результата этой операции (опять наобум - константа, остаток или вид получившейся функции) можно сделать некоторый вывод о пересечении их множеств значений.

[arseniiv]

Математически строгое описание интересующих вас задач можно легко составить. Например, принадлежит ли множество значений функции $f\colon A \to B$ множеству значений $g\colon C \to D$:

$$f(A) \subset g(B),$$

или, более развёрнуто,

$$\forall (a, b)\in f \;\; \exists (c, d)\in g \;\; b = d.$$

(можно развернуть ещё намного сильнее, но толку это не даст). А дальше уже смотря какие функции… (И это самое главное.)

А в качестве вашей операции можно взять разность множеств значений функций слева и справа. По его виду можно сказать, входит ли одно в другое. Только зачем?

[freeot]

Этот вопрос является подчиненным для строгого доказательства бинарной проблемы Гольдбаха, вот тут: topic62419.html
"На пальцах" то, что функция $z=2xy+x+y$ не покрывает область значений натурального ряда (или содержит "дырки" в сравнении с функцией $z=x+y$) - очевидна. А как математически правильно соотнести эти функции так, чтобы это было строго выражало данный вывод - я не знаю

[arseniiv]

Раскройте включение множеств — $A \subset B \Leftrightarrow \forall a \;\; a\in A \Rightarrow a\in B$.

[migmit]

freeot в сообщении #621306 писал(а):

Без подстановки числовых величин это как делается?

Это вообще что значит?

Реально же это делается очень просто. Берём точку $y$ из области значений $Y_2$. По определению области значений, это означает, что для какого-то $x$ имеет место $Y_2(x)=y$. По определению $Y_2$ это значит, что $x+4=y$. Тогда (единственный нетривиальный момент) $(x+2)+2=y$. Значит, $Y_1(x+2)=y$. По определению области значений, отсюда следует, что $y$ принадлежит области значений $Y_1$. Всё.

Для второго варианта — примерно так же.