|
Последний раз редактировалось vem 19.09.2012, 15:43, всего редактировалось 1 раз.
ЯЗЫК ОТНОШЕНИЙ И ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Два основных понятия – истина и ложь, пронизывают любую область деятельности человека. Философское понятие истины – как «идеал познания, заключающейся в совпадении мыслимого с действительностью», для математики ничего не дает, ибо вся «действительность» в математике именно «мыслимая». Поэтому математики пришли к соглашению признать некоторое «положение вещей» очевидным – отчетливо видимое мысленным взором, безотносительно к их «материальному наполнению», и потому истинным. При этом под ложным понималось любое утверждение не об истинном «положения вещей». И на протяжении более чем двух тысячелетий развитие философии и математики шло под девизом, что о любом повествовательном предложение можно сказать истинно оно, или ложно. И хотя вера в такое «положение вещей» то и дело подрывалась возникающими семантическими парадоксами, многие надеялись найти в будущем такой «метаязык» в котором эти парадоксы станут просто невозможными.
Со временем видимо осознание того, что мир мыслей трудно уложить в прокрустово ложе «истина-ложь», привело не только появлению логик вовсе отрицающих принцип исключения третьего, но и к появлению многозначных «логик» . Однако суть всех новых направлений, на наш взгляд, осталась неизменной – они предстают очередными попытками свести мир мыслей к некоторой совокупности алгебраических правил, пусть не столь элементарных, как правила работы с «истинностными» таблицами классической логики.
Мы предлагаем иной взгляд на язык математики, именно как на язык отношений. Этот взгляд опирается на философскую установку, спорадически появляющуюся еще со времен Евдокса, которую в 1902 г. отчетливо выразил Анри Пуанкаре: «То, что она [наука] может постичь, не суть вещи, как думают наивные догматики, а лишь отношения между вещами; вне этих отношений нет познаваемой действительности».
Одним из важнейших следствий этой концептуальной установки является то, что она позволяет отчетливо сформулировать неуловимое понятие смысла, ранее осознаваемое в философии как «внутреннее, логическое содержание слова, речи, явления,..., постигаемое разумом значение».
Итак, мы принимаем за руководство к действию мысль Пуанкаре, что наука может постичь не суть вещи, а лишь отношения между вещами. Тогда
• первичными неопределяемыми понятиями любой теории могут быть только: «объекты» – будем говорить «точки», и «отношения» в которых они находятся между собой. Точки и отношения – двойственные понятия. Точки не существует, если она не находится в каком либо отношении с другими точками – иначе мы и знать о ней ничего не можем; а без точек нет и отношений в которых они находятся.
Именуя какой-то объект – точку, мы подразумеваем и те отношения, в которых он на-ходится с другими именами. Некоторые из отношений отчетливо предстают перед нашим мысленным взором, о других мы только догадываемся, а о некоторых даже не подозреваем. И потому «имя» это не просто некое «удобное» сочетание букв принятого нами алфавита для выражения имен – имена осуществляются только в языке, выражающим отношения между именуемыми объектами.
Следует подчеркнуть, что
• «точка» – это образ умозрительного отношения эквивалентности. Но те отношения, которые мы осознаём, не различают её «внутреннего» содержания. С появлением новых отношений точка может предстать множеством «иных точек».
Итак, пред нашим мысленным взором предстают: Универсум объектов-точек и Универсум отношений между ними – необозримые понятия. Воображаемый горизонт Универсума точек и Универсума отношений зыбок, не определён, и все время удаляется от нас по мере того, как мы познаём его все глубже и глубже. Поэтому открывающееся нашему умственному взору постоянно расширяющееся поле отношений между значениями имен вынуждает нас признать, что часть наших суждений справедлива лишь «с точностью до…». С осознанием новых отношений между именами даже два ранее равных значения имён, если они не тождественны, могут оказаться различными. До этого момента в силу исторически обусловленной ограниченности наших знаний мы просто не замечали существующую между объектами разницу: истинность предложения, которое выражается символом равенства , в отличие от предложения, выражаемого символом тождества и понимаемого как разные имена «одного и того же», зависит от Универсума отношений, в которых находятся изучаемые нами объекты. Потому-то часто и возникают «разночтения в понятиях», и не только на бытовом уровне – даже у математиков представление об отношениях между «одними и теми же объектами» могут в чем-то отличаться. И бессмысленное для одного исследователя предложение может предстать не просто осмысленным, но и истинным для другого. Например, для логиков предложение « является сыном бездетных родителей и », кажется абсурдным, т.к. они подразумевают, что речь идет о родном сыне. Но для другого читателя это предложение является неопределенным, ведь речь может идти и о приемном сыне. И тогда это предложение будет вполне осмысленным и истинным. Абсурдное для большинства логиков предложение «Я лгу» как ответ на вопрос «Лжете ли вы?» является, в действительности, осмысленным, но неопределенным. Например, «Я лгу» лишь по пятницам, или только жене – в этом скрытый, неопределенный смысл предложения. Но если речь идет о том, что «Я всегда лгу», а значит, и сейчас, то для языка отношений
• любое предложение, отрицающее самое себя, называется абсурдным.
Часто внешне бессмысленные предложения появляются в тех случаях, когда в предложении фигурируют имена из разных Универсумов точек. Так, часто цитируемое внешне бессмысленное предложение «”Цезарь” является простым числом» становится вполне осмысленным, если все имена упорядочить, а их какое-то конечное число , и поставить их во взаимно однозначное соответствие отрезку целых чисел до. Тогда предложение «”Цезарь” является простым числом» и означает, что имя “Цезарь” в принятом упорядочении имен соответствует простому числу. Тем самым,
• чтобы предложение могло иметь смысл, «имена» в предложении должны быть либо из одного Универсума точек, либо их Универсумы должны быть изоморфны.
Это необходимое, хотя далеко не достаточное условие осмысленности предложений.
Мы уже много раз употребляли слово «смысл». На наш взгляд, для языка, а потому и для всех разделов науки вообще, это центральное понятие. Обращения к «смыслу» не могут избежать самые изощренные лингвисты и философы, ведь мы пишем и исследуем понятия и предложения, которые мы в состоянии «осмыслить» и передать этот «смысл» другому читателю. Более того, даже самые завзятые формалисты в математике не могут избежать этого “греха”. И не только на этапе «предварительных объяснений» и формулировки аксиом (определений). Просто потому, что любой символический язык являет собой не более чем сокращенную связную запись предложений из «предварительных» объяснений, где понятие «смысл» обязательно присутствует. Но можно ли вообще определить понятие «смысл» посредством предложений, которые сами этот смысл должны иметь? В своем обзоре различных точек зрения как лингвистических, так и философских на понятие «смысл», вместе с постановкой проблемных вопросов, А.И.Новиков писал: «Смысл относится к тем загадочным явлениям, которые считаются как бы общеизвестными, поскольку постоянно фигурирует как в научном, так и в обыденном общении. На самом деле он не только не имеет сколько-нибудь строгого общепринятого определения, но и на описательном уровне существует большой разброс суждений о том, что это такое. Иногда допускается, что смысл принадлежит к тем наиболее общим категориям, которые не подлежат определению и должны восприниматься как некоторая данность».
В итоге оказывается, что мы стоим на очень зыбкой почве. И вопрос “А действительно ли мы понимаем друг друга?” становится все более и более актуальным в наше технокра-тическое время.
На наш взгляд, “безвыходность” ситуации обусловлена не осознаваемой, но именно “материалистической“ точкой зрения на цели наших исследований – мы до сих пор ищем «кирпичики» мироздания – понятия, из которых надеемся сложить весь Мир. Мы опять-таки ищем «сущности», наделяя их «качествами», «свойствами», упуская из виду, что эти понятия – суть отношения, а не сущности. При этом из одних и тех же «кирпичиков» можно сложить тюрьму для мысли, а можно возвести и храм для неё – все зависит от того, как один «кирпичик» соотносится с другими. Да и сами «кирпичики», их «имя сущее» – корень слова, его написание, – это целый мир отношений, который раскрывает свое богатство, свою многоликость в приставках, окончаниях, контекстах....
И хотя в математике именем объекта-точки является лишь символ из принятого нами алфавита, и математика изучает маленькие фрагменты умозрительного мироздания с четкими, по возможности, границами как в Универсуме точек, так и в Универсуме отношений между ними, нельзя гарантировать, что где-то в глубоком подсознании некоторые из отношений лишь подразумеваются (не осознаются). А «смысл», заложенный в алфавите и воплощенный на этапах «предварительных пояснений» и в аксиомах (определениях), в скрытой форме содержится в доказанных теоремах. И может оказаться, что какие-то из теорем вовсе не имеют смысла.
Так что же такое «осмысленное предложение» для языка отношений, что такое собственно «смысл»?
• Смысл предложения (слова) и есть осознаваемая целокупность отношений, в которых нахо-дятся именуемые объекты.
Поэтому смысл предложения «точка x находится в отношении r с точкой y » в том и состоит, что «точка x находится в отношении r с точкой y». Именно поэтому некоторые слова оживают – они наполняются новым и новым для нас смыслом по мере того, как мы узнаем все больше и больше об их отношениях с другими словами. Вот почему, перечитывая старую книгу, иногда кажется, что ты и не читал её вовсе. И все потому, что Универсумы отношений и точек, которые мы осознаем, не имеют четких границ, все время меняются – появляются новые отношения, другие, напротив, отмирают, и что было истиной для нас вчера, вдруг предстает ложью сегодня. Итак,
• мы подразделяем предложения, прежде всего, на осмысленные, бессмысленные (предложения, которые не имеют смысла) и абсурдные.
Абсурдные и бессмысленные предложения обычно различаются. Первые мы понимаем как предложения, противоречащие самим себе, например, «Я всегда лгу»; вторые – как предложения, не имеющие смысла, например, «Если дождь, то трамвай». Но в нашем понимании смысла абсурдные предложения смысла не имеют. Значит, они являются лишь некоторой частью – собственным подмножеством множества бессмысленных предложений. Некоторые из бессмысленных предложений, но только не абсурдные, могут стать вполне осмысленными, хотя и в более широком поле отношений. Например, приведенное выше бессмысленное предложение может выглядеть и так: «Если в городе идет сильный дождь, то по нашей улице, расположенной в низине, не ходит трамвай». И так далее и т.п. А потому
• осмысленные предложения могут быть истинными, ложными или неопределенными.
Однако, говоря о неопределенных предложениях, мы имеем в виду не только предложения, которые можно доопределить и они станут либо истинными, ложными, либо абсурдными. Например, предложение «Z является сыном бездетных родителей X и Y» становится абсурдным, если слово «сыном» доопределить словом «родным»; и истинным, если его доопределить словом «приемным». Мы имеем в виду и те из предложений, которые невозможно доопределить в принципе. Такие предложения часто предстают в виде бесконечной цепочки конъюкций предложений , каждая конечная конъюктивная цепочка которых является вполне осмысленной и истинной. Для примера приведем часто цитируемое, например доказательство Г. Кантора теоремы о несчетности множества точек единичного отрезка вещественных чисел. Оно совершенно простое и очень наглядное.
Теорема (Кантор). Множество точек единичного отрезка несчетно.
Доказательство. Допустим противное, что это множество E счетное. Выберем первый сегмент s1 из E так, чтобы он не содержал точки x1 ; второй s2 так, чтобы он не содержал x2 ; третий s3 так, чтобы он не содержал x3 , и так далее. Это всегда можно сделать, например, как доказывал Кантор, делением сегментов на три равные части. В пересечении вложенных друг в друга сегментов, по мысли Кантора и его последователей, обязательно лежит точка, не принадлежащая E , что и доказывает его несчетность
Но при этом упускают из виду, что каждый сегмент является подмножеством счетного множества E– по допущению от противного, и потому тоже является счетным множеством. А значит, пересечение не определено – пусто, ибо для любой точки из есть сегмент, её не содержащий. И хотя теорема верна, приведенное выше доказательство ошибочно.
Подобного рода бесконечные цепочки конъюкций не редкость в математике. По существу на этом основании интуиционисты и считали, что принцип исключения третьего не может быть законом логики, упустив из виду, что предложение может оказаться неопределенным.
В связи с этим мы хотим обратить внимание на то, что существование в математической теории предложений в виде неопределенной бесконечной цепочки конъюкций по сути и есть теорема Гёделя о существовании в этой теории предложений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. О формальной стороне логики языка отношений – о формализации понятия «смысл», говорить здесь вряд ли уместно. А завершим разговор общей характеристикой.
• Для языка отношений повествовательные предложения могут быть осмысленными и бессмысленными. Бессмысленные предложения в качестве собственного подмножества содержат абсурдные предложения. Осмысленные предложения могут быть истинными, ложными или неопределенными. При расширении Универсума отношений a) некоторые из неопределенных предложений могут стать либо истинными, ложными, либо абсурдными, и b) некоторые из бессмысленных предложений, исключая абсурдные, могут стать осмыс-ленными.
Тем самым логика языка отношений окажется «четырехмерной», а не двумерной «да/нет» классических исчислений. При этом она будет как бы “живой”, часто меняясь в зависимости от развиваемой математической теории.
Все это имеет важные следствия в теории множеств, топологии и пр. Например в логике отношений пустое множество не существует, так как его определение соответствует абсурдному предложению; понятия точка и одноточечное множество совпадают и много другого интересного.
PS. Желающим могу выслать развернутое изложение, если укажите эл. почту. Спасибо за внимание
|
19.09.2012, 06:26 
