Сложные пределы

[boomeer]

1) Пусть есть последовательность ${x_n}=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+..+n\sqrt{1+n}}}}$ . Как доказать, что у нее есть предел и чему он равен?
2) Теперь же последовательность ${x_n}=\sqrt[a]{1+\sqrt[a]{1+..+\sqrt[a]{1}}}$, где $a>1$, нужно доказать, что последовательность сходится к положительному корню уравнения $x^a-x-1=0$
3) Найти необходимые и достаточные условия, накладываемые на последовательность ${x_n}$, чтобы существовала биекция $\gamma$ : $N->N$, такая, что последовательность ${x_{\gamma(n)}}$ монотонно строго возрастает.

[SpBTimes]

2) $x_n = \sqrt[a]{1 + x_{n-1}}$
Докажите ограниченность, монотонность, затем используйте предельный переход
3) $x_{\gamma(n)}$ - некоторая подпоследовательность. Вот и подумайте, как добиться условия

[chessar]

1) $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}{x_n}=2$

[chessar]

1) (и 2)) Вам нужно воспользоваться формулой Рамануджана (вложенные радикалы):

\[ x + n + a = \sqrt{a x + (n + a)^2 + x \sqrt{a(x + n) + (n + a)^2 + (x + n)\sqrt{a(x + 2n) + (n + a)^2 + (x + 2n)\sqrt{\cdots}}}} \]

при $x=2$, $n=1$, $a=0$. Только немного другая последовательность получается, но это сути не меняет. Если, та последовательность, что у Вас, то предел 2, а если такая как в формуле выше, то предел 3.
В общем, там используется теорема сходимости Хершфельда (Herschfeld's Convergence Theorem)

[boomeer]

chessar в сообщении #620787 писал(а):

1) (и 2)) Вам нужно воспользоваться формулой Рамануджана (вложенные радикалы):

\[ x + n + a = \sqrt{a x + (n + a)^2 + x \sqrt{a(x + n) + (n + a)^2 + (x + n)\sqrt{a(x + 2n) + (n + a)^2 + (x + 2n)\sqrt{\cdots}}}} \]

при $x=2$, $n=1$, $a=0$. Только немного другая последовательность получается, но это сути не меняет. Если, та последовательность, что у Вас, то предел 2, а если такая как в формуле выше, то предел 3.
В общем, там используется теорема сходимости Хершфельда (Herschfeld's Convergence Theorem)

Спасибо, вроде разобрался

[Cash]

3. Пусть $n_1$ таково, что $\gamma(n_1) = 1$.
Что можно сказать о $x_{n_1}$?
Затем $\gamma(n_2) = 2$ и т.д.
Вы получите способ построения биекции и увидите - какие условия надо наложить на исходную последовательность, чтобы её построить.