Произведение попарных сумм

[Ktina]

Даны несколько (больше двух) попарно различных натуральных чисел.
Доказать, что произведение их попарных сумм всегда можно представить в виде суммы нескольких (больше одного) последовательных натуральных чисел.

[Shadow]

Числа, непредставимые в виде суммы нескольких последовательных нат. чисел - только степени двойки.
$\frac{n(n+1)}{2}-\frac{m(m+1)}{2}=2a$

$(n-m)(n+m+1)=2a$
Произведение двух чисел разной четности. Для существования решения достаточно, чтобы "а" имело хотя бы один нечетный делитель.

А попарные суммы трех разных нат. чисел не могут быть одновременно степенями двойки. Пусть $a<b<c$
$\\a+b=2^k\\ b+c=2^l\\ c+a=2^m\\ b-a=2^l-2^m<0$
Т.е, хотя бы одно число - отрицательное

-- 18.09.2012, 19:36 --

В поседней формуле глупость написал, но все равно - одно число отрицательное

[Ktina]

Shadow в сообщении #620661 писал(а):

А попарные суммы трех разных нат. чисел не могут быть одновременно степенями двойки.

Не могут, и доказать это можно проще.
Пусть наибольшее из данных нам чисел равно $n$.
Тогда все попарные суммы с участием $n$ будут больше $n$, но меньше $2n$.
А в этот интервал может попасть не более одной степени двойки.

(Ах, не заметила, что Вы написали "трёх", поэтому привела более общее док-во)