Тригонометрический ряд

[Padawan]

В связи с темой Аналитическое продолжение

Пусть тригонометрический ряд $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{inx}$ равномерно сходится на $\mathbb R$ к функции $f(x)$, допускающей аналитическое продолжение $f(z)$ на всю комплексную плоскость. Доказать, что ряд $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{inz}$ равномерно сходится к $f(z)$ на любом компактном подмножестве $\mathbb C$.

[Oleg Zubelevich]

из равномерной сходимости следует, что функция $f$ периодична, значит и в комплексную плоскость продолжается как периодическая функция
дальше просто оценка коэффициентов Фурье путем интегрирования по прямоугольнику $\int f(z)e^{-inz}dz$
Там получается, что для любого $r>0$ найдется $C$ такая, чтто $|a_n|\le Ce^{-r|n|}$ для всех $n$

[Padawan]

Оценка правильная, но я только не понял, как она получена. Как это интегрированием по прямоугольнику? Поясните, пожалуйста.

[Oleg Zubelevich]

$a_n\sim\int_0^{2\pi}f(z)e^{-inz}dz=-\int_{2\pi+ir}^{ir}f(z)e^{-inz}dz$ поскольку в силу периодичности $\int_{2\pi}^{2\pi+ir}f(z)e^{-inz}dz+\int_{ir}^0f(z)e^{-inz}dz=0$
Из первого равенства вытекает нужная оценка при $n<0$ При $n>0$ надо интегрировать по прямоугольнику, который лежит ниже оси $X$