Односвязность

[Бабай]

Уважаемый Народ!

Не могли бы Вы пожалуйста пояснить (принципиальную) разницу между понятиями локальной односвязности и полулокальной односвязности топ. пр-ва. Хотелось бы также увидеть конкретный пример полулокально, но не локально односвязного пр-ва.

Заранее спасибо.

[alcoholist]

Локальная односвязность -- каждая точка обладает базой, состоящей из односвязных множеств

Полулокальная односвязность -- пространство $X$ допускает открытое покрытие множествами $U$ с нулевыми гомоморфизмами $\pi_1(U,u)\to\pi_1(X,u)$ $\forall u\in U$, индуцированными включениями

В качестве примера возьмите множество $A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\,y=\sin\frac{1}{x},\,x>0\}\cup\{(0,0)\}$ (топология индуцирована из плоскости)

Это пространство не является локально односвязным -- у начала координат нет односвязных окрестностей, однако группа $\pi_1(A,a)$ тривиальна при любых $a\in A$

[olenellus]

Пример из книжки Борисовича и ко.

Пространство из окружностей, касающихся в одной точке:

$$X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\left(x-\frac{1}{n}\right)^2+y^2=\frac{1}{n^2}\right\}$$

с топологией, индуцированной из $\mathbb{R}^2$, не является ни локально односвязным, ни полулокально односвязным. Конус над этим пространством является полулокально односвязным, но не является локально односвязным.