Помогите сократить

[fiztech]

Сократить дробь

$(1- \sin 2x)/(1-2^{1/2}\sin x)^2$

[ИСН]

Я вижу один (и то хлипкий и неоднозначный) аргумент в пользу того, что это вообще можно и нужно сокращать. Вы видите его же? Или просто "надо"?

[fiztech]

Там дан предел от этого. $x$ стремится к $\pi/4$

[ИСН]

Веский аргумент.
ОК, тогда так: внизу вынести из-под скобок $\sqrt2$, останется разность синусов ($\sin{\pi\over4}-\sin x$). Её можно представить как произведение.

[fiztech]

А что с числителем делать ?

[EtCetera]

1 расписать через основное тригонометрическое, $\sin 2x$ $\text{---}$ по ясно какой формуле; свернуть полученное в квадрат разности, из-под скобки тоже вынести $\sqrt 2$, увидеть формулу синуса разности.

[fiztech]

Если числитель собрать в квадрат разности , то получается $(\sin x - \cos x)^2$ . Зачем тут $2^{1/2}$ выносить ?

[EtCetera]

Чтобы

EtCetera в сообщении #619844 писал(а):

увидеть формулу синуса разности.

[fiztech]

Если вы говорите про знаменатель , то я там уже вынес . И ничего хорошего не получается .

[armez]

Числитель и знаменатель обращаются в нуль при $x = \frac{\pi}{4}$. Это наводит на мысль сделать замену $x=\varphi + \frac{\pi}{4}$. После этого в числителе (после приведения по формуле) появляется косинус двойного угла, а в знаменателе после вынесения за скобки множителя $\sqrt 2$ появляется разность синусов. В результате, числитель и знаменатель сокращаются на ${(\sin \frac{\varphi}{2})}^2$.

[fiztech]

а без замен никак ?

[EtCetera]

fiztech в сообщении #619878 писал(а):

Если вы говорите про знаменатель

Да про числитель я, про числитель. Соберите волю в кулак, вынесите и постарайтесь разглядеть в получившемся синус разности (учтя, что $\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$).

[fiztech]

Вопрос первоклассника .

$\cos x -\sin x = \cos x/2$ ??

[ИСН]

Нарисуйте график и посмотрите.

[armez]

Конечно, можно и без замен. Если после замены числитель и знаменатель сокращаются на ${(\sin \frac{\varphi}{2})}^2$, то без замен нужно в числителе и в знаменателе выносить общий множитель ${(\sin \frac{\varphi}{2})}^2={(\sin \frac{x - \frac{\pi}{4}}{2})}^2$. Распишите выражение под знаком квадрата, а потом ищите его среди множителей числителя и знаменателя.

$\cos x - \sin x = \sqrt 2 (\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} ) = \sqrt 2 \cos (x + \frac{\pi}{4})$.