2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Тейлор
Сообщение08.02.2007, 18:31 
Вопрос такой.Есть аналитическая в окрестности точки $z_0$ функция $f(z)$ и $f_0(z)=\frac{1}{1-z}$.
Можно ведь подобрать коэффициенты $p_k$ так, чтобы из частичной суммы $f_0(z)$ сконструировать
частичную сумму $f(z)$?Вот так можно: (здесь для меня важно,что именно стоит $p_{q-s}$,а не $p_s$):
$$
\sum_{s=0}^{q}p_{q-s}\frac{f^{(s)}(z_0){s!}(z-z_0)^s = \sum_{s=0}^{q}(z-z_0)^k,
$$
где $p_{q-s} = \frac{s!}{f^{(k)}(z_0)}, s=0,\ldots,q$.

Добавлено спустя 37 минут 11 секунд:

Вообще опишу свою проблему,чтобы было понятнее )
Функция $f(z)$ аналитична в окрестности точки $z_0$, $P(\lambda) = \sum_{s=1}^q p_s\lambda^s$ - фиксированный
многочлен степени $q$.
Есть теорема:
Цитата:
При любом натуральном $n>q+5$ существует набор комплексных чисел $\lambda_k,k=1,\ldots,n$,т.ч.
$$
\sum\limits_{s = 0}^{q - 1} {p_{q - s} \frac{{f^{(s)} (z_0 )}}{{s!}}(z - z_0 )^s }  \approx \sum\limits_{k = 1}^n {P(\lambda _k )} f(z_0  + \lambda _k (z - z_0 ))
$$

Вот вопрос:Можно ли подобрать коэффициенты полинома $P(\lambda)$ так,чтобы из частичной суммы анал.ф-ии $\frac{1}{1-z}$
сконструировать частичную сумму ряда Тейлора функции $f(z)$.А потом из вышеприведенной формулы можно аппроксимировать
$f(z)$, зная значения $\frac{1}{1-z}$.
Проблема заключается в подборе коэффициентов $p_s$ в зависимости от функции $f(z)$.
ну я думаю,что формула $p_{q-k} = \frac{k!}{f^{(k)}(z_0)}$ не является верной...

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group