Моноид слов

[FFFF]

Рассмотрим $W$ - множество всевозможных строк с операцией конкатенации. Доказать, что $\forall a,b \in W : \ ab=ba \Leftrightarrow \ \exists w \in W : \ a=w^\alpha, b=w^\beta$
В одну сторону очевидно, а в другую - не очень. Пусть $a=x_1 x_2...x_n \ b=y_1 y_2 ... y_m \ n<m$ Тогда условие $ab=ba$ даст $n+m$ равенств, из которых я хочу получить $ \forall i \ x_i = x_{i+k}$, где $k=\mathrm{gcd}(n,m)$. Как это сделать пока не очень ясно.

[apriv]

Заметить, что одно из слов является подстрокой другого, далее по индукции.

[FFFF]

apriv в сообщении #619186 писал(а):

Заметить, что одно из слов является подстрокой другого

заметил

apriv в сообщении #619186 писал(а):

далее по индукции

Честно говоря, мне не очень понятно, индукцией по чему? Как возникает наибольший общий делитель?

[apriv]

FFFF в сообщении #619189 писал(а):

Честно говоря, мне не очень понятно, индукцией по чему? Как возникает наибольший общий делитель?

Ну так и запишите более длинное как более короткое плюс что-то. Индукция по сумме длин, например.