Полные нормированные пространства

[vladb314]

Если в каком-либо пространстве задана норма $x\mapsto \| x\|$ и это пространство является полным в смысле этой нормы (т.е. в смысле метрики $(x,y)\mapsto \|x-y\|$), то верно ли, что оно является полным в смысле любой другой нормы?

Для метрических пространств, на которых не задана норма, мне удалось найти контрпример, т.е. я построил две метрики $\rho_1(x,y)$ и $\rho_2(x,y)$ и привёл пример последовательности, фундаментальной в смысле метрики $\rho_1$ и не фундаментальной в смысле метрики $\rho_2$. Таким образом, аналогичный вопрос для метрических ненормированных пространств решается отрицательно.

Для нормированных пространств привести две такие нормы не удалось. Можно ли доказать, что их вообще не существует?

[mihailm]

пространство непрерывных функций
там нормы какие знаете?

[vladb314]

mihailm в сообщении #619085 писал(а):

пространство непрерывных функций
там нормы какие знаете?

Извиняюсь, но только $\|f(x)\|=\max\limits_{a\leq x\leq b}|f(x)|$.

[мат-ламер]

vladb314 в сообщении #619091 писал(а):

Извиняюсь, но только

А попробуйте там ввести ещё одну норму. Возможно она Вам известна по другому пространству. Но Вы попробуйте её применить именно здесь.

[vladb314]

мат-ламер в сообщении #619108 писал(а):

А попробуйте там ввести ещё одну норму. Возможно она Вам известна по другому пространству. Но Вы попробуйте её применить именно здесь.

Всё загадками да загадками...
Открываем Колмогорова, Фомина, находим там примеры нормированных пространств:

• пространство действительных чисел, $\|x\|=|x|$, не подходит;
• $n$-мерное действительное пространство, $\|x\|=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n x_k^2}$, не подходит;
• пространство непрерывных функций, норма такая, как у меня;
• пространство ограниченных числовых последовательностей, $\|x\|=\sup\limits_n |x_n|$ - можно распространить на пространство действительных функций, но получится то же, что и у меня

Заходим в Википедию, находим там ещё пример нормированного пространства:

• пространство действительных чисел, таких, что ряд $\sum\limits_{i=1}^\infty |x|^p$ сходится, $\|x\| = \left(\sum\limits_{i=1}^\infty |x|^p\right)^{1/p}$, $p\geq1$, не подходит.

Либо я совсем ничего не понимаю...

[alcoholist]

vladb314 в сообщении #619120 писал(а):

Всё загадками да загадками

имелась ввиду интегральная норма... $C[0,1]$ -- подпространство в $L^p[0,1]$

[vladb314]

Но ведь если $\{f_i\}_{i=1}^\infty$ - последовательность непрерывных функций, фундаментальная в смысле нормы $\max |f(x)|$, то она также является фундаментальной и в смысле интегральной нормы.
Обратно: если последовательность фундаментальна в смысле интегральной нормы, то она фундаментальна и в смысле нормы $\max |f(x)|$, так как функции непрерывны.

[mihailm]

Возьмем такую последовательность от нуля до $\frac{1}{2}-\frac{1}{n}$ ноль, от $\frac{1}{2}+\frac{1}{n}$ до единицы один и линейно по непрерывности продолжим,
она в интегральной метрике фундаментальна?

[vladb314]

Да, действительно, последовательность

$$\[{f_n}(x) = \left\{ \begin{gathered} 0, \hfill x \in \left[ {0,\frac{1}{2} - \frac{1}{n}} \right) \\ \frac{n}{2}x - \frac{n}{4} + \frac{1}{2},\hfill x \in \left[ {\frac{1}{2} - \frac{1}{n},\frac{1}{2} + \frac{1}{n}} \right] \\ 1, \hfill x \in \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{n},1} \right] \\ \end{gathered} \right.\] $$

является фундаментальной по интегральной норме и не является фундаментальной по норме $\max|f(x)|$. Однако в случае интегральной нормы пространство не будет полным, так как эта фундаментальная последовательность сходится к разрывной функции. А мой вопрос касается именно полных нормированных пространств. Т.е. если найдётся норма, относительно которой пространство полно, то найдётся ли другая норма, относительно которой пространство не будет полно?

[mihailm]

Два раза перечитал не понял(
ЛП непрерывных функций, нашлась, равномерная, нашлась, не полно.

[vladb314]

mihailm в сообщении #619254 писал(а):

Два раза перечитал не понял(

А, всё правильно, это я не понял. Относительно нормы $\max |f(x)|$ это пространство полно, а относительно интегральной нормы не полно. Всё ясно.

-- Вс сен 16, 2012 00:12:17 --

А если рассматривать только конечномерные пространства?

[mihailm]

там все нормы эквивалентные

[vladb314]

mihailm в сообщении #619303 писал(а):

там все нормы эквивалентные

В каком смысле эквивалентные? Топологически эквивалентные? Как это можно обосновать или где можно найти обоснование?

[mihailm]

Ну если по одной метрике расстояние мало, то и по другой мало и наоборот, притом равномерно

[vladb314]

mihailm в сообщении #619446 писал(а):

Ну если по одной метрике расстояние мало, то и по другой мало и наоборот, притом равномерно

Нет, в общем случае для метрик конечномерных пространств это неверно. Например, ${\rho _1}(x,y) = \left| {x - y} \right|$ и $\[{\rho _2}(x,y) = \left\{ \begin{gathered} 0,x = y \hfill \\ 1,x \ne y \hfill \\ \end{gathered} \right.\] $, а пространство - множество рациональных чисел. Последовательность $\left\{ {\frac{1} {n}} \right\}_{n = 1}^\infty $, расстояния между любыми разными элементами последовательности по первой метрике могут быть сколь угодно малы, а по второй - не изменяются. В случае норм - нормы, наверное эквивалентны, можно это как-нибудь обосновать?