Проблемы математики. Аксиомы Евклида

[ozes]

Великий Евклид (325-265), как принято считать в математике, построил свои "Начала" на базе пяти аксиом (см.рис):
Постулаты "Начал" Евклида (см.рис).
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%B0
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Обычно внимание всех привлекает пятый постулат Евклида.
Но здесь нас будут интересовать первые три постулата.
Первый постулат Евклида утверждает, что через две точки можно провести единственную прямую.
Второй постулат определяет отрезок - как часть прямой.
Третий постулат утверждает, что для любого центра мы вправе построить окружности любого радиуса. То есть, в построении окружностей нас Евклид никак не ограничивает.

Теперь я хочу обратить внимание читателей на тот факт, что любая система аксиом не может считаться корректно построенной, если хотя бы одну из аксиом системы или ее часть мы можем получить из остальной их совокупности.

В противном случае аксиоматическая система считается переопределенной.

Проще говоря, все аксиомы аксиоматической системы должны быть независимы от всех остальных аксиом.

Теперь возьмем две окружности, одну радиусом в 2 раза больше второй, и прокатим меньшую окружность по большой окружности без проскальзывания, как показано на рисунке (или построим требуемую модель геометрически).

Тогда красная точка малой окружности (см.рис.) проследует строго по диаметру большой окружности.

В результате мы построили диаметр АВ большой окружности.

Теперь вопрос: Является ли построенный нами диаметр окружности отрезком прямой?

Если Вы отвечаете ДА, то это будет означать, что систем аксиом Евклида переопределена, и отрезок (как часть прямой) можно построить с помощью двух окружностей (или только третьей аксиомы) не прибегая к помощи первых двух аксиом.

Если Вы отвечаете НЕТ, то следует объяснить, почему диаметр окружности нельзя считать отрезком прямой.

Других ответов здесь быть, как Вы сами видите, не может - либо ДА, либо НЕТ!

[mihailm]

ozes в сообщении #619044 писал(а):

...
Теперь я хочу обратить внимание читателей на тот факт, что любая система аксиом не может считаться корректно построенной, если хотя бы одну из аксиом системы или ее часть мы можем получить из остальной их совокупности.
...

Может считаться.
Это желательно, но не обязательно.

Вобще вы хотя бы знаете что Начала Евклида никак не удовлетворяют современным мат требованиям
Систему аксиом элементарной геометрии построил Гильберт
Книга Гильберт Аккерман Основания геометрии

[migmit]

Здесь столько бреда, что даже непонятно, что комментировать.

Ну, поехали:

1) Никого уже давно не волнует, что там было у Евклида. Разумный список геометрических аксиом приведён у Гильберта в "Основаниях геометрии". Но даже они никому нафиг не нужны, нормальные люди давно берут аффинное пространство размерности два.

2) Во втором постулате, вообще-то, нет слова "отрезок". Собственно, Евклид, ЕМНИМЭ, вообще никак "отрезок" не определяет.

3) Избыточная система аксиом не перестаёт быть корректной.

4) Операции "прокатывания" в геометрии Евклида нет вообще, так что "построение" бессмысленно в принципе.

Вот, это для начала.

[ozes]

Цитата:

Вобще вы хотя бы знаете что Начала Евклида никак не удовлетворяют современным мат требованиям

И что?
Обсуждать геометрию Евклида уже нельзя?
Запрещенная тема?

Мой вопрос был о геометрии Евклида, а не о Гильберте.

[mihailm]

Можно конечно, одно ваше утверждение я опроверг, дискутируйте

[ozes]

mihailm в сообщении #619054 писал(а):

Можно конечно, одно ваше утверждение я опроверг, дискутируйте

Вы что то перепутали.
Я здесь ничего не утверждал (сделал лишь небольшое обзорное отступление, чтобы была понятна суть моего вопроса).

Я здесь только спрашивал - больше ничего.

[migmit]

ozes в сообщении #619055 писал(а):

Я здесь только спрашивал - больше ничего.

Врёте.

ozes в сообщении #619044 писал(а):

Теперь я хочу обратить внимание читателей на тот факт, что любая система аксиом не может считаться корректно построенной, если хотя бы одну из аксиом системы или ее часть мы можем получить из остальной их совокупности.

Это кто писал?

[Ales]

Я могу сказать, что рассуждение Автора опирается на пятый постулат:
сумма углов треугольника равна 180 градусов,
длина окружности удвоенного радиуса в два раза больше.

Кроме того, понятие "длина окружности" определяется через предел длины ломаной линии.
А ломаная состоит из отрезков.

[ozes]

migmit в сообщении #619056 писал(а):

ozes в сообщении #619055 писал(а):

Я здесь только спрашивал - больше ничего.

Врёте.

ozes в сообщении #619044 писал(а):

Теперь я хочу обратить внимание читателей на тот факт, что любая система аксиом не может считаться корректно построенной, если хотя бы одну из аксиом системы или ее часть мы можем получить из остальной их совокупности.

Это кто писал?

Избыточная система аксиом (даже совместная) не считается корректной (да будет Вам известно).
Корректная система не значит непротиворечивая система. Это разные вещи.
Корректная система должна содержать минимальное необходимое число аксиом из всего набора имеющихся.

Поэтому Ваше утверждение ошибочно.

Но здесь тема не об этом, поэтому вопросы корректности аксиоматических систем я с Вами здесь обсуждать не буду.

[migmit]

ozes в сообщении #619058 писал(а):

Избыточная система аксиом (даже совместная) не считается корректной (да будет Вам известно).

Это неверно.

ozes в сообщении #619058 писал(а):

Но здесь тема не об этом, поэтому вопросы корректности аксиоматических систем я с Вами здесь обсуждать не буду.

Это ваше право. Но ваше "я здесь ничего не утверждал" от этого враньём быть не перестаёт.

Если вам угодно снять это утверждение — потрудитесь обратить внимание на мой первый ответ в этой теме.

[ozes]

Ales в сообщении #619057 писал(а):

Я могу сказать, что рассуждение Автора опирается на
Кроме того, понятие "длина окружности" определяется через предел длины ломаной линии.

Длина окружности определяется через предел длины периметра правильного N-угольника при числе сторон стремящемся к бесконечности.
То есть, это категория "актуальной бесконечности".

[bot]

migmit в сообщении #619048 писал(а):

Избыточная система аксиом не перестаёт быть корректной

Более того, существуют объекты, которые нельзя описать неизбыточной системой аксиом.

[ozes]

bot в сообщении #619192 писал(а):

migmit в сообщении #619048 писал(а):

Избыточная система аксиом не перестаёт быть корректной

Более того, существуют объекты, которые нельзя описать неизбыточной системой аксиом.

Еще раз повторяю:

Совместная система аксиом считается корректно построенной лишь тогда, когда содержит минимальное число аксиом из всех требуемых.

Например, система аксиом Евклида (см.рис. в условии) 1,2,3, 4,5,5' некорректна, поскольку аксиомы 5 и 5' считаются взаимозависимыми.
Поэтому применяют или систему 1,2,3,4,5, или систему 1,2,3,4,5' - но не обе одновременно.

Что касается самой возможности описания объектов, то существуют понятия и объекты, которые вообще не поддаются аксиоматическому описанию - сон, мысль, вера, совесть, масло, тягучесть и т.д.

[Someone]

ozes в сообщении #622313 писал(а):

Еще раз повторяю:

Совместная система аксиом считается корректно построенной лишь тогда, когда содержит минимальное число аксиом из всех требуемых.

Ещё раз повторю для особо упёртых: требование минимальности списка аксиом при построении формальной теории отсутствует.

ozes в сообщении #622313 писал(а):

Что касается самой возможности описания объектов, то существуют понятия и объекты, которые вообще не поддаются аксиоматическому описанию - сон, мысль, вера, совесть, масло, тягучесть и т.д.

Указанные понятия не являются математическими теориями, поэтому в данном разделе обсуждаться не должны, а приводить их в качестве какого-то примера при обсуждении математических вопросов - глупость.

[ozes]

Someone в [url=http://dxdy.ru/post622319.html#p622319] писал(а):

Ещё раз повторю для особо упёртых: требование минимальности списка аксиом при построении формальной теории отсутствует.

Особо упертым поясняю, что при построении теории требование минимальности списка может не выполняться (например, существует множество аксиом, равносильных пятому постулату Евклида).
Но при окончательной формулировке совокупности аксиом требование минимальности следует выполнять.