Циклическое неравенство

[AlinkoMalinko]

Доказать что

$\frac a b+\frac b c+\frac c a \geqslant \frac {a+b} {c+a}+\frac {b+c} {a+b}+\frac {c+a} {b+c}$
при положительных a, b, c
Вообщем, прошу помощи, сижу уже вторые сутки... Ничего умнее замены a=xc, b=yc в голову не пришло. Считаю что задачка вполне олимпиадная, поэтому, написала её сюда

[arqady]

Поскольку неравенство циклическое, можно положить $c=\min\{a,b,c\}$.
Тогда $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq\frac{a+b}{c+a}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2+\frac{c}{a}-1+\frac{b}{c}-\frac{b}{a}\geq\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}-2+\frac{b+c}{a+b}-1+\frac{a+b}{c+a}-\frac{b+c}{c+a}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(c-a)(c-b)}{ac}\geq\frac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}+\frac{(c-a)(c-b)}{(a+b)(c+a)}$, что очевидно.