Помогите разобраться: параметрические уравнения

[Gerter]

Здравствуйте, форумчане. Собственно, такая ситуация. Учусь в 10 классе, школьную программу по математике полностью изучил самостоятельно, сейчас с другом решили заняться программированием в MatLab. Дошли до построения поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям. Нашел пример построения эллипсоида:

$a=4; b=2; c=3; u = (0:0.05*pi:2*pi)'; v = [0:0.05*pi:2*pi]; X = a*sin(u)*cos(v); Y = b*sin(u)*sin(v); Z = c*cos(u)*ones(size(v)); figure('Color','w') hS=mesh(X,Y,Z); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z')$

Как позже узнал X,Y и Z здесь заданы параметрическими уравнениями. Стал разбираться в этих уравнениях. Банальные примеры вроде замены x параметром t в уравнениях движения понятны. Но вот канонические
уравнения вроде окружности не понятны совсем. Как там получены синусы и косинусы? Есть ли общие алгоритмы параметризации? Подскажите, если можете, заранее спасибо

[gris]

В окружности синус и косинус появились по своему определению для произвольного числа. Синус числа это ордината точки единичной окружности с центром в начале координат, для которой дуга такая-то имеет длину, равную этому числу. Ну или более причёсанно, но суть та самая. Параметрическое уравнение получается из подобия и теоремы Пифагора.
Для эллипса или гиперболы уже немного сложнее.
В принципе параметрические уравнения это переход к другой системе координат.

[Gerter]

gris
Спасибо, немного прояснили, буду пробовать на практике. В гиперболе, как я понимаю, ситуация похожа, но число определяется гиперболическим синусом и косинусом?

[gris]

Да, но только гиперболические функции определяются не геометрически, а через экспоненту. То есть в гиперболе они появляются не столь естественным способом.
Разумеется, я говорю о хронологической последовательности определений. (Хотя вдруг гиперболические функции сначала определялись геометрически Их же Ламберт ввёл как раз через конические сечения, но тогда уже были и дифуры и экспонента. Прочем, это неважно.)