Краевая задача для ОДУ

[DLL]

Рассмотрим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение
$\frac{{d^{m - 1} }}{{dt^{m - 1} }}\left[ {e^{ct} \frac{{d^m w }}{{dt^m }}} \right] = f
с граничными условиями
$\frac{{d^i w }}{{dt}}(0) = \frac{{d^j w}}{{dt}}(T) = 0, \,\ i = \overline {0,m - 2} ,\,\ j = \overline {0,m - 1} ,\,\ m = 2,...$
Будет ли такая задача корректна?

[V.V.]

Проинтегрируем $(m-1)$ раз. Получим
$e^{ct}\frac{d^m w}{dt^m}=\int\limits_0^t \frac{(t-s)^{n-1}}{(n-1)!}f(s)\,ds$.
Теперь разделим на экспоненту и еще раз аналогично проинтегрируем. Вроде, с корректностью проблем не возникает...

[DLL]

Как бы надо чтобы граничные условия еще выполнялись :)

[DLL]

Я вижу проблему в следующем. Когда мы будем интегрировать, как написано в посту V.V., мы получим общее решение, зависящее от 2m-1 постоянных. Чтобы нам найти эти постоянные надо воспользоваться граничными условиями.

И если бы это была задача Коши, то есть все данные заданы в одной точки, то из общей теории ОДУ следовало бы, что такая система разрешима. Краевые задачи для ОДУ уже не всегда разрешимы.

[V.V.]

Да, есть такая проблема. Я написал общее решение (кстати, в посте выше у меня бяка). А дальше не смог исследовать. Правда, решал я пока только "на коленке" в метро.

[DLL]

Если поставить в соответствие исходной задачи дифференциальный оператор с граничными условиями $T$, можно вывести априорную оценку, то есть неравенство $(Tu,u) > c |u|^2$. Могу получить такую же оценку для формально сопряженного оператора. Но этого, как мне видится, еще недостаточно.

[sup]

Ну если $c>0$ то все нормально. Умножим уравнение на $y$ и проинтегрируем по частям.
$(-1)^{m}2\int \limits_0^T y(t)f(t)dt = -2\int \limits_0^T e^{ct}y^{(m)}y^{(m-1)}dt = (y^{(m-1)}(0))^2 +c\int \limits_0^T e^{ct}(y^{(m-1)}(t))^2dt$
Отсюда следует единственность, а значит и разрешимость. А вот при $c<0$ - непонятно.

[DLL]

Да, именно так получается.
Отсюда, при $c > 0$ следует единственность.
Но разрешимость (то есть существование решения при произвольной правой части $f$) пока ни откуда не следует.

[sup]

Следует ...
Общее решение линейным образом зависит от $2m-1$ констант. Если система линейных уравнений допускает лишь единственное решение, то она разрешима.

[DLL]

Спасибо. Красивая идея.
Я так понимаю, это имеет место вообще для любого ОДУ (или системы ДУ) с постоянными коэффициентами.
Можно ли найти такую теорему в какой-нибудь известной книге по дифференциальным уравнениям?

[sup]

Даже не знаю, что и сказать. Это вроде бы достаточно простой факт. Может где-нибудь в теории задач Штурма-Лиувилля это встречается.