Произодная функции

[StaticZero]

Я тут порассуждал немножко, в общем у меня получилось, что если функция - многочлен, то производную от него взять очень просто.

Например, есть функция, которая является многочленом: $f(x)=x^4+3x^3-2x^2+9x+10$
Тогда $f'(x)=1\cdot4\cdotx^3+3\cdot3\cdotx^2-2\cdotx\cdot2+9=4x^3+9x^2-4x+9$, при этом коэффициенты при всех членах (кроме свободного) дифференцируемой функции умножаются на степень $x$, затем умножаются на $x^{n-1}$, где $n$ - это степень $x$ в первоначальной функции, а свободный член убирается.

Интеграл находится подобным образом:
$\int(4x^3+9x^2-4x+9)dx=\frac{4}{3+1}x^{3+1}+\frac{9}{2+1}x^{2+1}-\frac{4}{1+1}x^{1+1}+9x+C=x^4+3x^3-2x^2+9x+C$

Скажите, я изобретаю велосипед?

[gris]

Нет. Велосипед был изобретён гораздо позже правил дифференцирования.
Вы изобрели маятниковые часы. Тоже неплохо.

[ИСН]

"Как много нам открытий чудных", ага.
Со временем Вы обнаружите, что производную от любой функции взять примерно так же просто.

[StaticZero]

Ок, благодарю.

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #617372 писал(а):

функция - многочлен, то производную от него взять очень просто

Можно даже доказать, что $(x^n)'=nx^{n-1} \ \forall x \in \mathbb{R}; \ \forall n \in \mathbb{N}$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Mitrius_Math в сообщении #617616 писал(а):

Можно даже доказать, что $(x^n)'=nx^{n-1} \ \forall x \in \mathbb{R}; \ \forall n \in \mathbb{N}$.

Если $\forall x \in \mathbb{R}$ оставить, у многих совершенно справедливо получитcя что-то типа $3^{10} = 10\cdot 3^9$.

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

arseniiv, не понял.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #617674 писал(а):

сли $\forall x \in \mathbb{R}$ оставить, у многих совершенно справедливо получитcя что-то типа $3^{10} = 10\cdot 3^9$

Не так. Пусть $x=3$ , $n=2$ (раз уж любые). Тогда получаем $(3^2)'=9'=0$ слева и $2\cdot 3=6$ справа. Так доказывается самая полезная теорема, о том, что все числа равны нулю.

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

Всё равно ничего не понял. Ну да ладно...

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k ; \ \forall a, b \in \mathbb{R}; \ \forall n \in \mathbb{N}$$

$$(x^n)'=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{(x+\Delta x)^n -x^n}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k}(\Delta x)^k - x^n }{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\left( nx^{n-1} +o(\Delta x) \right)}=nx^{n-1}$$

И что не так?

[Shtorm]

Mitrius_Math в сообщении #617616 писал(а):

Можно даже доказать, что $(x^n)'=nx^{n-1} \ \forall x \in \mathbb{R}; \ \forall n \in \mathbb{N}$.

А почему $\forall n \in \mathbb{N}$? Это же сначала так, а потом всё равно обобщаем на случай $\forall n \in \mathbb{R}$

[arseniiv]

(Оффтоп)

Mitrius_Math, запись «$(x^n)'=nx^{n-1} \ \forall x \in \mathbb{R}; \ \forall n \in \mathbb{N}$» в том сообщении неоднозначна, и её проще понять как то, что производная вещественного числа в степени равна… Если убрать $\forall x \in\mathbb R$, будет больше казаться, что там имеется в виду функция; а в погоне за строгостью можно написать $\forall n \in\mathbb N : (x \mapsto x^n)' = (x \mapsto nx^{n-1})$ — там уж точно не будет сомнений, что производная берётся от функции (но подставление квантора по $x$ туда тоже ничего полезного не внесёт, т. к. $x$ уже связана стрелкой $\mapsto$).

Nemiroff в сообщении #617738 писал(а):

Не так.

Ой. Я ж через $c'$ и хотел, а написал не то…

[Mitrius_Math]

Shtorm в сообщении #617817 писал(а):

А почему ? Это же сначала так, а потом всё равно обобщаем на случай

Да, но формула выводится иначе и справедлива лишь при

$$x>0$$

.

-- Ср сен 12, 2012 18:38:03 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #617829 писал(а):

Если убрать , будет больше казаться, что там имеется в виду функция

И так понятно, что речь идёт о степенной функции с натуральным показателем.

[arseniiv]

(2 Mitrius_Math.)

Mitrius_Math в сообщении #617905 писал(а):

И так понятно, что речь идёт о степенной функции с натуральным показателем.

Но я всё-таки бурбакистически буду настаивать, что $\forall x$ было лишним.

[Xaositect]

(Оффтоп)

$\forall n\in\mathbb{N}\; \forall x\in\mathbb{R}\; (\lambda x.x^n)'(x) = nx^{n-1}$