Собственные векторы

[geniy88]

Здравствуйте! Нужно найти собственные векторы матрицы $3\times 3$. Я нашел собственные значения: $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ (кратное собственное значение). Собственные векторы удовлетворяющие $\lambda_1$ имееют вид $(0, \ c_1, \ c_2)$, а собственные векторы удовлетворяющие собственному значению $\lambda_2$ имееют вид $(k_1, k_1, 0)$. Не знаю как перевести с английского, в википедии тоже не нашел, но требуется найти generalised eigenvectors? Кто нибудь знает как их находить?

Заранее Спасибо!

-- Вт сен 11, 2012 05:42:12 --

ясно, что нужно взять $(0, 1, 1) , (1, 1, 0)$ и третий будет $(1, 0, 1)$ но как это обосновать? и как найти?
и что такое generalised eigenvector?

-- Вт сен 11, 2012 05:59:23 --

кажется я уже разобрался:

нужно решить систему $(A - I\cdot\lambda_2) x_3 = x_2 $ где $x_2$ собственный вектор для $\lambda_2$, а $x_3=( x_{31},\ x_{32}, \ x_{33})$

[gris]

Как же не нашли? Вот подробно и с примерами (если Вы на английском обучаетесь, то тем более).
http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_eigenvector

[geniy88]

этот вектор называется присоединенным вектором

[geniy88]

еще раз здравствуйте! я кажется все же допустил где-то ошибку. Пример такой:
Задана матрица:
$\begin{bmatrix} {3}&{-1}&{1} \\ {2}&{0}&{1} \\ {1}&{-1}&{2}\end{bmatrix}$

Нужно найти ее присоединенные векторы.

Я начал решение с нахождения собственных чисел: $\lambda_1=1, \lambda_2=2$, $\lambda_2 $ имеет кратность 2.
Потом начал находить собственные вектора. Собственные вектора для $\lambda_1=1$ имеют вид $ \ (0, c_1, c_1)$, где $ \ c_1$ - произвольная постоянная. Я выбрал вектор $(0, 1, 1)$. Собственные вектора для $\lambda_2$ имеют вид $(\ k_1, \ k_1, 0)$. Tak, что я взял векторы (0, 1, 1) для первого и (1,1, 0) для второго. Потом нашел второй вектор для $\lambda_2$ применив матрицу $A - \lambda_2 I$:
$(A - \lambda_2 I)$${(\ x_1, \ x_2, \ x_3)}^{T}={(1, 1, 0)}$ и нашел вектор $(1, 1, 1)$. Далее применил матрицу $A - \lambda_2 I$ к ${(0, 1, 1)}$.

В результате у меня получились 3 вектора:

${(0, -1, -1)}^{T}, {(1, 1, 0)}^{T}, {(1, 1, 1)}^{T}$

Можете подсказать что я сделал не так? и как все же найти мои векторы?

[loko]

geniy88, у меня тоже получилось для вещественных собственных значений матрицы $\lambda_1 = 1$ и $\lambda_2 = 2$ собственные векторы $(0, -C_1, -C_1)$ и $(C_2, C_2, 0)$. А вот дальше я Вас не понимаю. Что означает это:

Цитата:

Потом нашел второй вектор для $\lambda_2$

Вы же разложили определитель на множители $(1-\lambda)(\lambda^2-4\cdot\lambda+4)=0$ и сами сказали, что кратность второго корня равна 2. Т.е. совпадают эти два собственных значения, откуда совпадают и соответствующие собственные вектора. Вывод: вот этого

Цитата:

применив матрицу $A - \lambda_2 I$

делать не нужно.
В итоге имеем 3 собственных вектора, два последних из которых совпадают:
$(0, -1, -1), (1, 1, 0), (1, 1, 0)$

[Xaositect]

loko в сообщении #617879 писал(а):

совпадают эти два собственных значения, откуда совпадают и соответствующие собственные вектора.

Это неверное утверждение.

loko в сообщении #617879 писал(а):

В итоге имеем 3 собственных вектора, два последних из которых совпадают:

Матрица с двумя с.в. и матрица с двукратным с.з. и одним с.в. это до такой степени разные вещи, что смысла говорить о кратных с.в. нет. Ни в одном учебнике Вы такого понятия не встретите.

[loko]

Xaositect, ну тогда мы имеем для данной матрицы 2 собственных вектора. Третьего нет. Получается, что если дискриминант квадратного уравнения, которое является одним из сомножителей характеристического уравнения, равен нулю, то имеем один собственный вектор, хоть и 2 собственных значения. Верно я Вас понял?

[Xaositect]

loko в сообщении #617891 писал(а):

Xaositect, ну тогда мы имеем для данной матрицы 2 собственных вектора. Третьего нет. Получается, что если дискриминант квадратного уравнения, которое является одним из сомножителей характеристического уравнения, равен нулю, то имеем один собственный вектор, хоть и 2 собственных значения. Верно я Вас понял?

Так.
Бывают матрицы с кратным собственным значением и различными собственными векторами, например, $\left(\begin{matrix}1 & 0\\ 0&1\end{matrix}\right)$. У нее характеристический многочлен $(\lambda - 1)^2$, одно двукратное с.з. $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$ и двумерное пространство с.в., соответствующих этому с.з., порожденное, например, $(1\ 0)^T$ и $(0\ 1)^T$. Тут все просто.

Бывают матрицы с кратным собственным значением, но количеством совбственных векторов меньше кратности этого значения. Например, $\left(\begin{matrix}1 & 1\\ 0&1\end{matrix}\right)$. У нее такой же характеристический многочлен $(\lambda - 1)^2$, двукратное с.з. $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$, но только один с точностью до умножения на константу с.в. $(1\ 0)^T$.
О кратных с.в. тут не говорят, потому что если говорят о чем-то кратном, то имеют в виду предельное положение двух различных чего-то. Например, многочлен имеет кратный корень, если он предел последовательности многочленов с близкими, но различными корнями. Здесь такой ситуации нет.
Зато в этом случае можно рассмотреть не соотношение $(A - \lambda I) x = 0$, которое дает собственные векторы, а соотношение $(A - \lambda I)^k x = 0$, которое дает собственные и присоединенные векторы. Обычно сначала находят собственные векторы $x$, а потом "присоединяют" к ним присоединенные $y$, решая уравнение $(A - \lambda I) y = x$. Потом к присоединенным векторам можно присоединять еще присоединенные, пока не закончится размерность. В данном случае присоединенным вектором к $(1\ 0)^T$ будет $(c\ 1)^T$, где $c$ --- любое (присоединенные векторы определены с точностью до аддитивного слагаемого, состоящего из собственных и "нижележащих" присоединенных).

[loko]

Xaositect, спасибо Вам за подробные разъяснения. У нас в Вузе в курсе высшей математики не было присоединённых векторов, да и с собственными никто особо не заморачивался. Их вообще как-то дали так, мимоходом, из цикла, чтоб знали, что есть и такое.

[geniy88]

Спасибо всем за ответы! Дело в том что я в конце задачи неправильно находил обратную матрицу и ответ не сошелся :( поэтому решил, что векторы неправильные :)
базис состоит из векторов (0, 0, 1) для первого собственного значения,
(1, 1, 0) и присоединенный (0, 0, 1) для второго собственного значения

[Xaositect]

По-видимому, у Вас опечатка: Для первого с.з (0,1,1)
В остальном верно.