Трёхточечная производная

[Lesobrod]

Делаю небольшую демонстрацию типа "Закон сохранения энергии и принцип наименьшего действия". Тело брошено под углом, движение по параболе и т.п.
Траектория разбита на небольшое число точек, т.к. интерактив.

Нужно считать производные. Для демонстрации сохранения энергии с превосходной точностью работает

$$y'(x_k)=\frac{y(x_{k+1})-y(x_{k-1})}{2\Delta x}$$

А вот для действия и лагранжиана всё плохо. Немного помучившись, я понял -
для них производная должна содержать значение функции в самой точке.
Убогое

$$y'(x_k)=\frac{y(x_{k})-y(x_{k-1})}{\Delta x}$$

совсем плохо.
Итак, нужна трёхточечная численная формула производной с ненулевым коэффициентом у центрального члена.

[Pavia]

Lesobrod
Может чуть подробнее распишите что вы делаете и что не так?

(1) $y'(x_k)=\frac{y(x_{k})-y(x_{k-1})}{\Delta x}$
Формула (1) не точна, её лучше записывать так

(2)$y'(x_k-0.5*\Delta x)=\frac{y(x_{k})-y(x_{k-1})}{\Delta x}$
(3)$y'(x_k+0.5*\Delta x)=\frac{y(x_{k+1})-y(x_{k})}{\Delta x}$
Если вы хотите не смещённую то берите (4)

(4) $y'(x_k)=\frac{y(x_{k+1})-y(x_{k-1})}{2\Delta x}$

Цитата:

Итак, нужна трёхточечная численная формула производной с ненулевым коэффициентом у центрального члена.

Такого не существует.

[arseniiv]

Проставив точки с полуцелыми индексами как средние между рядом стоящими, можно потом попробовать посчитать производную так:

$$y'(x_k) \approx \frac{y_{k+0{,}5} - y_{k-0{,}5}}{\Delta x} = \frac{y_k + y_{k+1} - y_{k - 1} - y_k}{2\Delta x} = \frac{y_{k+1} - y_{k-1}}{2\Delta x}.$$

Возможно, для некоторых функций такое лучше. (Ещё возможно, что я это где-то видел около конечных разностей — может, это какой-то редкий их тип.)

О, опоздал.

[Lesobrod]

Спасибо! Посмотрел на всё и теперь к методу научного тыка можно смело добавить
"метод среднего" Итак, у нас два выражения для производной. Возьмём их полусумму:

$$\frac{1}{2}\left(\frac{y_{k+1}-y_{k-1}}{2\Delta x}+\frac{y_k-y_{k-1}}{\Delta x}\right) = \frac{y_{k+1}+2\cdot y_k-3\cdot y_{k-1}}{4\Delta x}$$

Вот и трёхточечная формула с центральным членом. Для расчёта спутников советовать не буду, но мне подошло!

[arseniiv]

$\dfrac{y_{k+1} - y_{k-1}}{2h}$ ведь и получается как арифметическое среднее от $\dfrac{y_{k+1} - y_k}h$ и $\dfrac{y_k - y_{k-1}}h$, зачем ещё одно среднее делать?

[ewert]

Lesobrod в сообщении #617132 писал(а):

Возьмём их полусумму:

$$\frac{1}{2}\left(\frac{y_{k+1}-y_{k-1}}{2\Delta x}+\frac{y_k-y_{k-1}}{\Delta x}\right) = \frac{y_{k+1}+2\cdot y_k-3\cdot y_{k-1}}{4\Delta x}$$

Это бессмысленно. Второе выражение нехорошо тем, что имеет всего лишь первый порядок точности. Вы его усредняете с более точным (второго порядка) -- и, тем самым, ровно ничего не выигрываете.

[Lesobrod]

Согласен. Но мне обязательно нужен центральный член.
Иначе получается, что при изменении значения функции в центральной точке
производная не менятся!

[ewert]

Lesobrod в сообщении #617311 писал(а):

мне обязательно нужен центральный член.
Иначе получается, что при изменении значения функции в центральной точке
производная не менятся!

Ну она (производная) и фактически не меняется -- в пределах точности формулы. Вводя же центральный член искусственно, Вы получаете лишь иллюзорное изменение этой производной, которое ничему реальному не соответствует, а просто равно увеличению погрешности по сравнению с исходным вариантом.

[_Ivana]

Интересный вопрос. Когда я пытался придумывать различные методы сплайновой интерполяции, я выяснил что если мы будем оценивать производную в центральной точке через аппроксимацию нечетного количества точек полиномом Лагранжа, то она всегда будет независима от значения функции в центральной точке, хоть по 1001 точке аппроксимируй - такой был для меня немного удивительный факт. Но если оценить по четному количеству точек - например по 4, 6 и т.д., то подозреваю что значения всех точек будут присутствовать. Дело трех минут - построить полином Лагранжа по 4 точкам и взять его производную во второй или третьей точке - это и порядок точности не ухудшит, и значение во всех точках использует.

[ewert]

_Ivana в сообщении #618066 писал(а):

если мы будем оценивать производную в центральной точке через аппроксимацию нечетного количества точек полиномом Лагранжа, то она всегда будет независима от значения функции в центральной точке,

Но, естественно, лишь при симметричном (не обязательно равномерном) расположении остальных точек вокруг центральной. Более того: любая симметричная формула разностного дифференцирования при любом нечётном порядке производной центрального узла фактически не использует.

[_Ivana]

Ну наконец-то Вы заглянули сюда и прокомментировали мое предложение, хотя автор темы пропал и видимо уже не интересуется вопросом.

ЗЫ может быть когда-нибудь я дождусь и вы выступите третейским судьей в споре в моей предложенной задачке по построению сплайна в "Олимпиадных" :)