Пропорциональное пересечение трех кривых прямой

[INGELRII]

Даны три гладких кривых $a,b,c$ без особых точек, имеющих конечные длины $l_a, l_b, l_c$ соответственно. Их концы обозначим буквами $A_1, A_2; B_1, B_2; C_1, C_2$ соответственно. Известно, что любая прямая, пересекающая кривые $a$ и $b$ также пересекает и кривую $c$, причем каждую ровно в одной точке. Прямые $A_1 B_1$ и $A_2 B_2$ также пересекают кривую $c$. Доказать, что существует по крайней мере одна прямая, пересекающая все три кривые в точках $A,B,C$ таким образом, что длины отсекаемых кривых $A_1 A, B_1 B, C_1 C$ связаны соотношением: $\frac{l_{A_1 A}}{l_a}=\frac{l_{B_1 B}}{l_b}=\frac{l_{C_1 C}}{l_c}$

[Oleg Zubelevich]

На кривой $a$ возьмем точку $M_a$, длина дуги $A_1M_a$ равна $s_a$
На кривой $b$ возьмем точку $M_b$, длина дуги $B_1M_b$ равна $s_b$
Прямая $M_aM_b$ пересекает третью кривую в точке $M_c$, длина дуги $C_1M_c$ равна $s_c$.

имеем следующее отображение квадрата $[0,1]\times[0,1]$ в себя: $(x,y)\mapsto (y,z)$, где

$$ x=s_a/l_a,\quad y=s_b/l_b,\quad z=s_c/l_c.$$

Дальше теорема Брауэра о неподвижной точке