Среднее арифметическое первых нескольких простых чисел

[Ktina]

Может ли среднее арифметическое первых нескольких простых чисел быть целым числом?
Случай $\frac{2}{1}=2$ я рассматривать не буду, опираясь на нормы русского языка (всё-таки, "несколько" - это больше, чем "одно").

Понятно, что если такое среднее арифметическое будет целым, то оно будет чётным.

(Доказательство)

Если взять первые $n=2k$ простых чисел, то их сумма будет нечётной, а их количество - чётным. В таком случае, среднее арифметическое вообще не будет целым.
Если же взять первые $n=2k+1$ простых чисел, то их сумма будет чётной, а их количество - нечётным. Тогда среднее арифметическое (если оно целое) должно быть чётным.

А куда дальше плыть?

[Someone]

Может. Например, для $n\in\{1,23,53,853,11869,117267,339615,3600489,\ldots\}$ (всё, что нашлось для $n<10000000$).

[Ktina]

Someone в сообщении #616989 писал(а):

Может. Например, для $n\in\{1,23,53,853,11869,117267,339615,3600489,\ldots\}$ (всё, что нашлось для $n<10000000$).

Странно. Интуиция меня подвела. Я думала, ответ будет отрицательным.
Любопытно, существует ли какая-нибудь закономерность?
Пока нашла только вот это: http://oeis.org/A045345
Но та мало что объясняется...

[Sonic86]

(Оффтоп)

Цитата:

«Зачем складывать простые числа? — недоумевал великий физик Ландау. — Простые числа созданы для того, чтобы их умножать, а не складывать!