Итерационные методы решения СЛАУ для комплексной арифметики

[KSergP]

Здраствуйте!
Необходимо решать комплексную СЛАУ.
Найденые мной алгоритмы итерационных методов приведены для вещественной арифметрики. Переделал эти алгоритмы под комплексную арифметику.
Вопрос: с т.з. математики это допустимо? [/b]

[sceptic]

Если при замене исходного поля R на C условия сходимости вашего итерационного метода остаются справедливыми - использование метода законно (но не всегда оправданно: может случиться так, что при этом скорость сходимости сильно упадет).

[KSergP]

Если при замене исходного поля R на C условия сходимости вашего итерационного метода остаются справедливыми ?

Т.е. вы хотите сказать, что надо использовать итерационные методы алгоритмы которых написаны для комплексных СЛАУ?

Edited by Dan_Te

[sceptic]

KSergP писал(а):

Т.е. вы хотите сказать, что надо использовать итерационные методы алгоритмы которых написаны для комплексных СЛАУ?

Нет. Можно использовать методы для вещественных СЛАУ. Просто нужно следить за сохранением условий сходимости метода при переходе к другому полю.

Edited by Dan_Te

[KSergP]

Я не совсем понимаю. Что значит следить за сохранением условия сходимости?

[sceptic]

KSergP писал(а):

Я не совсем понимаю. Что значит следить за сохранением условия сходимости?

Это значит, один и тот же алгоритм при работе в R (т.е когда и матрица и св. члены уравнения лежат в R и решение ищется там же) может успешно работать (т.е. последовательность решений, выдаваемых им на итерациях будет сходится к решению задачи - в метрике, определенной на R^n ) и в то же время в C начинает себя вести безобразно (последовательность решений на итерациях ни к чему не сходится). Связано это с тем, что в первом случае в окрестности решения системы для алгоритма выполнены условия сходимости (обычно выражаемые в терминах матричных норм), а во втором - эти условия не выполняются. Поэтому, при переносе алгоритма, успешно работающего в R, в C следует отдельно проверить, будут ли выполняться там условия сходимости. Это я и хотел сказать, ничего более.

[Fgolm]

KSergP в сообщении #2929 писал(а):

Здраствуйте!
Необходимо решать комплексную СЛАУ.
Найденые мной алгоритмы итерационных методов приведены для вещественной арифметрики. Переделал эти алгоритмы под комплексную арифметику.
Вопрос: с т.з. математики это допустимо? [/b]

Можно свободно использовать известные итерационные методы, приведенные, как Вы пишите, для вещественной арифметики при решении комплексных СЛАУ.
Для этого из комплексной СЛАУ с $N$ неизвестными комплексными числами и $N*N$ комплексными коэффициентами превращаем в СЛАУ с $2N$ вещественными неизвестными. Это можно осуществить выделив действительную и мнимую части.
Приводим комплексную СЛАУ к виду, удобному для применения метода простой итерации: слева будет стоять столбец комплексных неизвестных, справа - произведение комплексной матрицы на столбец комплексных неизвестных, а также столбец свободного члена с комплексными элементами.
Осуществляем перемножение матрицы на вектор, стоящий справа. И выделяем справа отдельно действительную и мнимую части.
Столбец неизвестных, стоящий слева представляет собой сумму двух столбцов: действительная и мнимая части.
Вот таким образом и происходит выделение действительной и мнимой частей СЛАУ.
Приравнивая действительную часть слева и спрва получаем первы блок СЛАУ: $N$ строк и $2N$ столбцов (последние $N$ столбцов - нули).
Далее приравниваем мнимую часть слева и справа и записываем этот блок под первым.

Ну а далее, как писал sceptic все зависит от того будет ли сходиться метод для данной, уже вещественной, СЛАУ.