Две задачи с болгарских олимпиад

[Ktina]

*1*
Для каждого натурального $n$ определим $a_n$ как число точных квадратов среди чисел $2, 9, 16, \dots , 7n+2$ и определим $b_n$ как число точных квадратов среди чисел $1, 4, 7, \dots , 3n+1$.

а) Найти $a_{1984}$ и $a_{2012}$

б) Найти наименьшее натуральное $n$, такое что $b_n=a_{1984}$ и наименьшее натуральное $m$, такое что $b_m=a_{2012}$

*2*

Если $m, n, k\in\mathbb N$ и выполняется

$$k=\frac{(m+3)^n+1}{3m}$$

,
обязательно ли $k$ нечётно?

[Руст]

1)$a_n=[\frac{[\sqrt{7n+2}-3]}{7}]+1+[\frac{[\sqrt{7n+2}]-4}{7}]+1, b_n=[\sqrt{3n+1}]-[\frac{\sqrt{3n+1}}{3}].$ Дальнейшее неинтересно.
2) Ясно, что если k четное, то m xчетное и $3|m^n+1\to m=2\mod 3, 2\not |n$ и $m|3^n+1$. Соответственно, надо искать $m=2\mod 6, 2\not |n, m|3^n+1.$ При этом $3k=\frac{3^n+1}{m}+\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}m^{k-1}3^{n-k}=1+\frac{3^n+1}{m}\mod 2$. Соответственно $ord_2(m)=ord_2(3^n+1)\to m=20 \mod 24$. Тогда $m/4=5\mod 6$ и порядок 3 должен быть $2n=2\mod 4$ Этого можно добиться, если $m/4=19 \mod 24\to m=76\mod 96$.
Берем $m=76$, тогда $m|3^9+1$ и $k=\frac{79^9+1}{3*76}$ - четное.