Проверить на рациональность

[Keter]

Является ли число рациональным?

$$\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}$$

Обозначим для удобства $\sqrt5=a$. А исходное выражения за $x$.

$$\sqrt[3]{a+2}-\sqrt[3]{a-2}=x$$

$$x^3=4+3\sqrt[3]{a-2}\sqrt[3]{a+2}\bigg(\sqrt[3]{a+2}-\sqrt[3]{a-2}\bigg)$$

$$x^3-3x-4=0$$

Как показать, что полученное уравнение имеет иррациональный корень или рациональный...

[muzeum]

Подсказка:
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным единице являются целыми числами. Корни такого многочлена являются делителями свободного члена.
Это про корни уравнения. А вот является ли Ваш $x$ корнем Вашего уравнения, нужно еще посмотреть.

[Keter]

muzeum в сообщении #616429 писал(а):

Подсказка:
Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом равным единице являются целыми числами.

Как это доказать? Где можно прочитать доказательство?

Я знал, про то, что целые корни всегда следует искать среди делителей свободного члена. Ясно, что таких корней нет.

[muzeum]

1. Сначала нужно доказать, что рациональный корень целого многочлена (так называют многочлен с единичным старшим коэффициентом над кольцом целых чисел). Для этого предположите, что $x$ записан несократимой дробью и подставьте это в уравнение. Домножением избавьтесь от знаменателя.
2. Целый корень целого многочлена делит свободный член. Доказательство состоит в перенесении свободного члена в другую часть и разложении на множители того, что осталось.

[Keter]

muzeum, спасибо, разобрался.